等比数列の和

この計算の道すじ。 記号を読み、和を$r$倍した式を引いて1つ目の形を作る（手順1〜5）。$r=1$だけは別に数える（手順6）。最後に、2つの形は分子と分母に$-1$を掛けただけだと確かめ（手順7〜8）、$r$の大きさで使い分ける。

等比数列は、前の項に同じ数を掛けて作る数の並びである。最初の項を初項といって$a$と書き、掛ける数を公比といって$r$と書く。$S_n$は初項から第$n$項までの和で、$S$は和を表す英語sumの頭文字だ。

項が金額（万円）なら、$a$も$S_n$も同じ単位をもつ。$r$と$n$は回数や倍率なので、単位は付かない。

同じ数をずらして消す

足す数は多いが、全体を$r$倍すると同じ数が1つずれて現れる。第$n$項は$r$を$n-1$回掛けた数なので、指数は$n-1$までになる。

1. 和を書き出す

   $$\begin{array}{rl}{S}_n& =a+ar+a{r}^2\\ & +\cdots +a{r}^{n-1}\end{array}$$

2. 両辺に$r$を掛ける

   $$\begin{array}{rl}r{S}_n& =ar+a{r}^2+\cdots \\ & +a{r}^{n-1}+a{r}^n\end{array}$$

3. 手順1の式から手順2の式を引く

   $$S_n-r{S}_n=a-a{r}^n$$

手順1と手順2の右辺には、$ar$から$a{r}^{n-1}$までが両方にある。引くとそれらが消えて、先頭の$a$と末尾の$a{r}^n$だけが残る。

4. 左辺を$S_n$で、右辺を$a$でくくる

   $$(1-r)S_n=a(1-r^n)$$

5. $r\ne 1$なので、両辺を$1-r$で割る

   $$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

$S_n-r{S}_n$は、$5x-2x=(5-2)x$と同じ計算である。項が無限に続く和は等比級数で読める。

公比が1なら掛け算で済む

$r=1$だと手順5の分母が0になり、割り算ができない。公式に$r\ne 1$の条件が付いているのはこのためだ。もっとも、和そのものは簡単に出る。

6. どの項も$a$なので、$a$を$n$個足す

   $$S_n=a+a+\cdots +a=na$$

分数の式が使えないのは、ちょうど$r=1$のときだけである。$a=1$、$n=5$なら、$r=0.99$で約4.90、$r=1.01$で約5.10となり、両側から$na=5$に近づく。だから2つの答えは別々の話ではない。

2つの形は同じ値

では、なぜ形が2つあるのか。分子と分母に同じ数を掛けても、分数の値は変わらない。

7. 1つ目の形の分子と分母に$-1$を掛ける

   $$\frac{a(1-r^n)\times (-1)}{(1-r)\times (-1)}$$

8. かっこの中の符号を入れ替える

   $$\frac{a(r^n-1)}{r-1}$$

どちらで計算しても答えは同じで、選ぶ理由はマイナスを減らすことだけだ。

$r>1$なら$r^n-1$も$r-1$も正になる。$0<r<1$なら$1-r^n$も$1-r$も正になる。公比が負のときは、$1-r$が必ず正になる1つ目の形が扱いやすい。

棒の高さは初項1から公比倍ずつ変わり、右の塔が和を表す。$r=2$では塔の高さが次の棒より1だけ低いまま伸びていく。$r=0.5$では8本足しても塔は2を超えず、$r=1$では同じ高さの棒が$n$本重なる。

和の求め方は数列の種類で変わる。等差数列の和は逆の順に並べて足すと項がそろい、等比数列はずらして引くと項が消える。