y = \frac{k}{x - p} + q

分数関数のグラフ

Graph of a rational function

焦点に近づけた物の像は、どこまでも遠くへ逃げていく。

分母が一次式の分数関数のグラフは、x = pとy = qの2本の漸近線をもつ双曲線になる。y = k/xを平行移動した形で、kの符号で通る象限が決まる。

年代: 紀元前3〜2世紀（アポロニオス『円錐曲線論』）
習う: 高3・数学III・極限
レベル: 基本(例題 3 問)
人物: アポロニオス
作成日: 2026-11-07
更新日: 2026-11-07
執筆・監修: 佐々木航

数学物理学

起源

ともに落ちない線

1を0.1で割ると10、0.001で割ると1,000、0.000001で割ると100万になる。割る数を0に近づけるほど答えはいくらでも大きくなり、0で割る計算そのものは無い。だから $y = \frac{1}{x}$ のグラフは、y軸にどこまでも近づくのに、触れることがない。

曲線が限りなく近づいて、交わらない直線を漸近線という。英語のasymptoteは、「ともに落ちない」という意味のギリシャ語から来た言葉だ。この語を使ったのは、紀元前3〜2世紀の数学者アポロニオスである。円錐を平面で切った曲線を8巻の『円錐曲線論』で調べ、放物線、楕円、双曲線の名を与えた人で、第2巻では双曲線と漸近線の関係を調べている。もっとも、アポロニオスの漸近線は、曲線と交わらない直線を広く指す言葉だった。

途中の計算

2本の破線に近づく双曲線

この計算の道すじ。 公式の文字が何を表すかを読み、 $y = \frac{1}{x}$ に数を入れて漸近線をつかむ（手順1〜4）。グラフを上下左右へずらし（手順5〜7）、 $k$ の符号で向きが変わることを確かめる（手順8、9）。最後に $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ を割り算で公式の形に直し（手順10〜14）、定義域と値域を求める（手順15〜19）。

記号を読む

分数関数は、分母に $x$ が入った関数である。数学IIIでは、分母が $x$ の一次式のもの、つまり $y = \frac{k}{x - p} + q$ の形を扱う。 $p$ と $q$ は漸近線の位置を決める数で、縦の漸近線が $x = p$ 、横の漸近線が $y = q$ になる。

縦の破線x = pと横の破線y = qが点（p, q）で交わり、双曲線の2本の枝が破線に近づく。下の欄に、x = pは分母が0になる所、y = qは横の漸近線、kは曲がり方と向きを決める0でない数と示す。

$k$ は0でない数で、曲線の曲がり方と向きを決める。たとえば $k = 1$ 、 $p = 0$ 、 $q = 0$ なら $y = \frac{1}{x}$ 、中学1年で習う反比例のグラフだ。2本の漸近線が直角に交わる双曲線なので、直角双曲線とも呼ぶ。

1/xで漸近線を読む

まず、 $x$ に正の数を入れて $y = \frac{1}{x}$ を計算してみよう。

$x$	0.1	0.5	1	2	10
$y$	10	2	1	0.5	0.1

$x$ を負の数にすると、 $y$ は同じ大きさのまま符号だけが変わる。 $x = - 0.1$ なら $y = - 10$ 、 $x = - 2$ なら $y = - 0.5$ だ。では、表の両端のさらに先はどうなっているのか。

$x = 0.01$ を入れる
$y = \frac{1}{0.01} = 100$
$x = 100$ を入れる
$y = \frac{1}{100} = 0.01$

y = 1/xのグラフとx軸のすき間を、x = 1、2、4、8で縦の線にする。長さは1、0.5、0.25、0.125で、xが2倍になるたびに半分になるが、0にはならない。

$x$ を0に近づけると $y$ はいくらでも大きくなり、グラフはy軸に沿って上へ伸びる。 $x$ を大きくすると $y$ は0に近づき、グラフはx軸に沿って右へ伸びる。それでも $x = 0$ は代入できず、 $\frac{1}{x}$ が0になる $x$ も無い。だからy軸とx軸が、 $y = \frac{1}{x}$ の2本の漸近線である。

$x$ を10、100、1000と10倍ずつにすると、 $y$ は0.1、0.01、0.001と10分の1ずつ小さくなり、無限等比数列の極限のとおり0に近づく。数学IIIでは、この「限りなく近づく」を極限の記号limで書く。 $x \to \infty$ は「 $x$ を限りなく大きくする」、 $x \to + 0$ は「 $x$ を正の側から0に近づける」と読み、 $\infty$ は限りなく大きくなることを表す。

$x$ を限りなく大きくしたときの行き先を書く
$x \to \infty lim \frac{1}{x} = 0$
$x$ を正の側から0に近づけたときの行き先を書く
$x \to + 0 lim \frac{1}{x} = \infty$

平行移動で中心を動かす

二次関数 $y = a (x - p)^{2} + q$ のグラフは、 $y = a x^{2}$ のグラフを、 $x$ 軸の向きに $p$ 、 $y$ 軸の向きに $q$ だけずらしたものだった。形を変えずに上下左右へずらすことを平行移動という。分数関数も同じで、 $y = \frac{k}{x - p} + q$ は $y = \frac{k}{x}$ を平行移動したグラフになる。 $y = \frac{1}{x}$ を右へ2、上へ1動かしてみる。

$y = \frac{1}{x}$ の $x$ を $x - 2$ に置きかえる
$y = \frac{1}{x - 2}$
右辺に1を足す
$y = \frac{1}{x - 2} + 1$
縦の漸近線のすぐ右、 $x = 2.1$ を入れる
$y = \frac{1}{0.1} + 1 = 11$

点線のy = 1/xを右へ2、上へ1ずらすと、実線のy = 1/(x − 2) + 1になる。中心は原点から点（2, 1）へ、点（1, 1）は点（3, 2）へ移り、漸近線もx = 2とy = 1へ移る。

$x - 2$ は $x = 2$ のときに0になる。つまり、元のグラフで割れなかった $x = 0$ の所が、 $x = 2$ へ移ったわけだ。元のグラフの点 $(1, 1)$ も、 $x = 3$ で $y = \frac{1}{1} + 1 = 2$ の点 $(3, 2)$ へ、右へ2、上へ1動いている。

$p$ と $q$ を動かすと、2本の破線と双曲線が形を変えずに一緒に動く。中が空いた丸は、元のグラフの点 $(1, 1)$ が移った先で、いつも中心 $(p, q)$ から右へ1、上へ1の所にある。 $p$ を負にすると、分母は $x - (- 3) = x + 3$ のように足し算になる。

kの符号で向きが変わる

$k$ が正なら、 $x$ が $p$ より右では $y$ が $q$ より上、左では下になる。 $k$ が負なら、上下が入れかわる。 $p = 0$ 、 $q = 0$ として、 $k = - 2$ に数を入れてみる。

$y = - \frac{2}{x}$ に $x = 1$ を入れる
$y = \frac{- 2}{1} = - 2$
$x = - 1$ を入れる
$y = \frac{- 2}{- 1} = 2$

左はk = 2のy = 2/xで、右上と左下の斜線の部分を通る。右はk = −2のy = −2/xで、左上と右下の斜線の部分を通る。

$y = - \frac{2}{x}$ のグラフは、点 $(1, - 2)$ と点 $(- 1, 2)$ を通る。座標平面を2本の軸で4つに分けた部分を象限といい、右上から反時計回りに第1〜第4象限と呼ぶ。象限で言いかえると、 $k = 2$ のグラフは第1と第3象限を、 $k = - 2$ のグラフは第2と第4象限を通ることになる。

割り算で形を直す

ただ、 $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ のように分子にも $x$ があると、そのままでは漸近線が読めない。整数の割り算で $11 \div 4 = 2$ 余り3を $\frac{11}{4} = 2 + \frac{3}{4}$ と書くのと同じ考えで、分子を「分母の何倍か」と「余り」に分ける。

x = 5のとき、分子の2x + 1は11マスで、分母のx − 1にあたる4マスが2組と、斜線の余り3マスに分かれる。11 ÷ 4 = 2余り3と同じ形である。

分子の $2 x$ を、分母の2倍と残りの2に分ける
$2 x + 1 = 2 (x - 1) + 2 + 1$
定数をまとめる
$2 x + 1 = 2 (x - 1) + 3$
分子を入れかえて、分数を2つに分ける
$\frac{2 x + 1}{x - 1} = \frac{2 ( x - 1 )}{x - 1} + \frac{3}{x - 1}$
1つ目の分数を $x - 1$ で約分する
$y = 2 + \frac{3}{x - 1}$
公式の形に並べかえる
$y = \frac{3}{x - 1} + 2$

$k = 3$ 、 $p = 1$ 、 $q = 2$ で、漸近線は $x = 1$ と $y = 2$ である。 $x = 5$ を入れると、元の式は $\frac{11}{4} = 2.75$ 、直した式も $\frac{3}{4} + 2 = 2.75$ で一致する。

定義域と値域

定義域は $x$ がとれる値の範囲、値域は $y$ がとる値の範囲である。 $y = \frac{3}{x - 1} + 2$ では、分母が0になる $x$ だけが入れられない。

分母が0になる $x$ を求める
$x - 1 = 0 より x = 1$

値域は、 $y$ に数 $c$ を入れて、 $x$ が求まるかどうかで決まる。グラフでいえば、高さ $c$ の横線を引いて、曲線と交わるかどうかを見ることにあたる。

$y = c$ とおき、両辺から2を引く
$c - 2 = \frac{3}{x - 1}$
$c \neq = 2$ なら、両辺の逆数をとる
$\frac{1}{c - 2} = \frac{x - 1}{3}$
両辺に3を掛ける
$x - 1 = \frac{3}{c - 2}$
両辺に1を足す
$x = \frac{3}{c - 2} + 1$

y = 3/(x − 1) + 2のグラフに横線を引く。y = 4はx = 2.5で、y = 0はx = −0.5で曲線と交わるが、破線のy = 2だけはどこでも交わらない。

$c = 4$ なら $x = \frac{3}{2} + 1 = 2.5$ 、 $c = 0$ なら $x = - \frac{3}{2} + 1 = - 0.5$ と、交わる点が1つずつ求まる。 $c = 2$ のときは手順16の左辺が0になるが、分子が3の分数は0にならないので、 $x$ は無い。よって定義域は $x \neq = 1$ 、値域は $y \neq = 2$ で、どちらも漸近線の数そのものだ。

応用

凸レンズの像の位置

焦点距離 $f$ の凸レンズから距離 $a$ の所に物を置くと、反対側の距離 $b$ の所に像ができる。3つの長さには、高校の物理で習うレンズの式 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ が成り立つ。 $f = 10$ cmのレンズで、 $b$ を $a$ の式に直してみる。

\frac{1}{b} = \frac{1}{10} - \frac{1}{a} = \frac{a - 10}{10 a}

焦点距離10 cmの凸レンズの左15 cmに物を置くと、右30 cmに上下が逆の像ができる。1/15 + 1/30 = 1/10が成り立つ。

逆数をとると $b = \frac{10 a}{a - 10}$ になる。分子の $10 a$ を $10 (a - 10) + 100$ と分けると、手順10〜14と同じ形に直せる。

b = \frac{100}{a - 10} + 10

$k = 100$ 、 $p = 10$ 、 $q = 10$ の分数関数である。 $a = 15$ cmなら $b = \frac{100}{5} + 10 = 30$ cmになる。縦の漸近線 $a = 10$ は、物を焦点に近づけるほど像がどこまでも遠くへ逃げることを表す。 $a = 12$ cmでは、もう $b = 60$ cmだ。

横の漸近線 $b = 10$ からは、遠くの物ほど像が焦点に寄っていくことが読み取れる。10 m先の $a = 1000$ cmなら $b = \frac{100}{990} + 10 \approx 10.1$ cmである。このレンズなら、遠くの景色から10 m先の人へピントを移しても、レンズを1 mmほど動かせば足りる。もう一方の枝の $a < 10$ では $b$ が負になり、像は物と同じ側にできる虚像になる。

同じ形は、温度を一定にした気体の圧力と体積にも現れる。ボイルの法則で圧力を体積の式にした $p = \frac{k}{V}$ は、平行移動していない $y = \frac{k}{x}$ の形だ。2本の軸が漸近線なので、どれだけ押しつぶしても体積は0にならない。

例題と解説

漸近線から形を読む練習

例題 1基本漸近線と軸との交点

$y = \frac{x - 1}{x - 2}$ の漸近線の方程式と、グラフが $x$ 軸、 $y$ 軸と交わる点を求めよ。

解説を見る

分子を、分母の1倍と余りに分ける。 $x - 1 = (x - 2) + 1$ なので、次の形になる。

y = \frac{( x - 2 ) + 1}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} + 1

$k = 1$ 、 $p = 2$ 、 $q = 1$ で、漸近線は $x = 2$ と $y = 1$ である。

$x$ 軸と交わるのは $y = 0$ のときで、元の式の分子が0になる $x = 1$ だ。 $y$ 軸と交わる点は、 $x = 0$ を入れて求める。

y = \frac{0 - 1}{0 - 2} = \frac{1}{2}

交わる点は $(1, 0)$ と $(0, \frac{1}{2})$ である。

例題 2基本向きが逆になる分数関数

$y = \frac{- 2 x + 5}{x - 3}$ の定義域と値域を求めよ。また、グラフは2本の漸近線で4つに分けた部分のうち、どの2つを通るか。

解説を見る

分子を、分母の $- 2$ 倍と余りに分ける。 $- 2 (x - 3) = - 2 x + 6$ なので、分子の $- 2 x + 5$ はそれより1小さい。

- 2 x + 5 = - 2 (x - 3) - 1

分子をこの形にして分数を2つに分け、1つ目を約分する。

y = \frac{- 1}{x - 3} - 2

$k = - 1$ 、 $p = 3$ 、 $q = - 2$ である。定義域は $x \neq = 3$ 、値域は $y \neq = - 2$ だ。

$k$ が負なので、 $x > 3$ では $y < - 2$ 、 $x < 3$ では $y > - 2$ になる。 $x = 4$ なら $y = - 3$ 、 $x = 2$ なら $y = - 1$ で確かめられる。グラフは、漸近線の交点 $(3, - 2)$ から見て右下と左上の部分を通る。

例題 3入試グラフで分数の不等式を解く

不等式 $\frac{2 x + 1}{x - 1} > x + 1$ を解け。

解説を見る

左辺は、手順14で $\frac{3}{x - 1} + 2$ に直した双曲線である。直線 $y = x + 1$ より上にある曲線の部分を探す。両辺から2を引いておく。

\frac{3}{x - 1} > x - 1

曲線と直線が交わるのは $\frac{3}{x - 1} = x - 1$ のときで、両辺に $x - 1$ を掛けると $(x - 1)^{2} = 3$ 、つまり $x = 1 \pm 3$ である。

双曲線y = 3/(x − 1) + 2と直線y = x + 1は、xが約−0.73と約2.73の2点で交わる。下の数直線の太い部分が、曲線が直線より上にあるxの範囲である。

$x > 1$ のとき、 $x - 1$ は正なので、両辺に掛けても不等号の向きは変わらない。

(x - 1)^{2} < 3 より 1 < x < 1 + 3

$x < 1$ のとき、 $x - 1$ は負なので、掛けると不等号の向きが逆になる。

(x - 1)^{2} > 3 より x < 1 - 3

答えは $x < 1 - 3$ 、 $1 < x < 1 + 3$ である。 $x = 2$ なら左辺5、右辺3で成り立ち、 $x = 0$ なら左辺 $- 1$ 、右辺1で成り立たない。

参考文献

文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編理数編』（2018）、第1部第2章第3節「数学Ⅲ」、71〜74ページ（3（1）極限ア（ウ）「簡単な分数関数と無理関数の値の変化やグラフの特徴について理解すること」。「分数関数は，分母が一次式のものを取り扱う」、y = (x − 1)/（x − 2）の漸近線の例、二次関数のグラフの平行移動と関連付けること）
J. J. O'Connor, E. F. Robertson, "Apollonius of Perga", MacTutor History of Mathematics（『円錐曲線論』が8巻であること、放物線、楕円、双曲線の名、第2巻で双曲線と漸近線の関係を調べたこと）
Wikipedia "Asymptote"（asymptoteの語源が「ともに落ちない」という意味のギリシャ語であること、アポロニオスがこの語を曲線と交わらない直線の意味で使ったこと）

分数関数のグラフ

ともに落ちない線

2本の破線に近づく双曲線

記号を読む

1/xで漸近線を読む

平行移動で中心を動かす

kの符号で向きが変わる

割り算で形を直す

定義域と値域

凸レンズの像の位置

漸近線から形を読む練習

例題 1基本漸近線と軸との交点

例題 2基本向きが逆になる分数関数

例題 3入試グラフで分数の不等式を解く

参考文献

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