無限級数が収束すれば、項は0に近づく

この計算の道すじ。 部分和$S_n$を読み、隣り合う部分和の差が項$a_n$になることを確かめる（手順1〜3）。2つの部分和は同じ数に近づくので、差の$a_n$は0に近づく（手順4〜6）。最後に、対偶で発散を示す使い方と、逆が成り立たない調和級数を見る（手順7〜10）。

部分和を読む

$a_1,a_2,a_3,\dots$と限りなく続く数を全部足した式$a_1+a_2+a_3+\cdots$を、無限級数という。${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$とも書き、$\infty$は「限りなく続く」という印だ。$a_n$は$n$番目に足す数で、項と呼ぶ。

限りなく足すことは実際にはできないので、初めの$n$個だけを足した和$S_n$を考える。これが部分和だ。$n$を大きくしていくと$S_n$が1つの決まった数$S$に限りなく近づくとき、級数は収束するといい、$S$をその和と呼ぶ。近づく数が無ければ発散で、和は決まらない。

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$は、「$n$を限りなく大きくすると、$a_n$は0に限りなく近づく」と読む。limはリミットと読み、極限を表す印である。公式は、収束する級数なら、その項は必ず0に近づくという意味だ。

隣どうしの差が項になる

$a_n=\frac{1}{2^n}$、つまり$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$を例にとる。部分和は$S_3=0.875$、$S_4=0.9375$である。

1. $S_n$を書く

   $$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}+a_n$$

2. 1つ手前の部分和$S_{n-1}$を書く

   $$S_{n-1}=a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}$$

3. 手順1から手順2を引くと、最後の項だけが残る

   $$S_n-S_{n-1}=a_n$$

数を入れると$0.9375-0.875=0.0625$で、$a_4=\frac{1}{16}=0.0625$と一致する。手順3は、$n$が2以上ならどの$n$でも成り立つ。

2つの部分和が同じ数へ向かう

ここで、級数が収束して和が$S$だとする。$S_n$が$S$に近づくなら、1つ遅れて進む$S_{n-1}$も同じ$S$に近づく。

4. 級数が収束するので、部分和は$S$に近づく

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$$

5. $S_{n-1}$は同じ列を1つずらしただけなので、同じ$S$に近づく

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{n-1}=S$$

6. 手順3の両辺で$n$を限りなく大きくする

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=S-S=0$$

2つの丸がそろって1に近づくので、間の距離も0に縮む。$n=8$なら$0.99609375-0.9921875=0.00390625$で、$a_8=\frac{1}{256}$と同じ数になる。

対偶で発散を示す

「AならばB」を「BでないならAでない」と言い直した文を、対偶という。もとの文が正しければ対偶も正しく、数学Iで習う。公式の対偶は次の形になる。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\ne 0⟹\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\text{ は発散する}$$

左の「$\lim a_n\ne 0$」は、項が0以外の数に近づく場合も、どの数にも近づかない場合も含む。たとえば${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n+1}$の項は$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\dots$と1に近づくので、和は発散する。どの項も$\frac{1}{2}$以上だから、10項で約7.98、100項なら50以上と、1項ごとに増え続ける。

${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n$は、−1と1を交互に足す級数だ。項は−1と1を行き来して0に近づかないので、これも発散する。部分和は−1, 0, −1, 0, …と振れて、1つの数に決まらない。

逆は成り立たない

公式の逆の「項が0に近づけば収束する」は、正しくない。反例が冒頭の調和級数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$で、項は0に近づくのに、和は限りなく大きくなる。オレームと同じように、項を2個、4個、8個とまとめる。

7. 3番目と4番目の項は、どちらも$\frac{1}{4}$以上である

   $$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\geqq \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

8. 5番目から8番目までの4個は、どれも$\frac{1}{8}$以上である

   $$\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\geqq \frac{1}{8}\times 4=\frac{1}{2}$$

9. 9番目から16番目までの8個は、どれも$\frac{1}{16}$以上である

   $$\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\cdots +\frac{1}{16}\geqq \frac{1}{16}\times 8=\frac{1}{2}$$

2番目の$\frac{1}{2}$も1組と数えると、16番目までには$\frac{1}{2}$以上の組が4つ並び、和は$1+\frac{4}{2}=3$以上になる。$2^m$番目までなら、組は$m$個だ。

10. $2^m$番目までの和は、初めの1に$\frac{1}{2}$を$m$個足した数以上になる

    $$S_{2^m}\geqq 1+\frac{m}{2}$$

$m$はいくらでも大きくできるので、$1+\frac{m}{2}$も限りなく大きくなる。16項までの和は約3.38で、たしかに3を超えている。ただ、伸び方はとても遅く、和が10を超えるのは12,367項目だ。

級数を選んで項の数を増やすと、上の段の項はどれも0の線に近づく。下の段の部分和は、$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots$と$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots$では破線で止まり、$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$だけが止まらずに伸びていく。

入試での書き方

「$\sum a_n$が発散することを示せ」と言われたら、まず${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$を求める。0でなければ、次の1行で答えになる。

「${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=1\ne 0$であるから、無限級数${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$は発散する。」

一方、$\lim a_n=0$なら、この公式からは何も言えない。部分和$S_n$を直接計算するか、調和級数のように、小さい項に置きかえた和と比べる。無限等比級数が公比$r\geqq 1$や$r\leqq -1$で発散するのも、項が0に近づかないからで、等比級数で確かめられる。