はさみうちの原理

この計算の道すじ。 引き算1回で「0に近づくかどうか」の話に直し、原理を示す（手順1〜4）。揺れる数列$\frac{\sin n}{n}$で使い方を確かめ、等号の扱いと使えない場合を押さえる。最後に、三角形と扇形の面積から$\frac{\sin \theta }{\theta }\to 1$を導く（手順5〜9）。

記号の読み方

$a_n$、$b_n$、$c_n$は、数を順に並べた数列の$n$番目の数で、並んだ1つ1つの数を項と呼ぶ。右下の小さい$n$が番号で、$a_1$は1番目、$a_5$は5番目にあたる。

$\le$は「左は右以下」という印だ。$a_n\le c_n\le b_n$は、どの番号でも$c_n$が$a_n$以上で$b_n$以下、つまり$c_n$が2つの数列にはさまれていることを表す。

$\lim$は「リミット」と読み、数列の行き先を聞く記号である。$n\to \infty$は番号$n$をどこまでも大きくするという意味で、$\infty$（無限大）は数ではなくその様子を表す印だ。

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\alpha$は「番号を大きくすると、$a_n$はいくらでも$\alpha$に近づく」と読む。$\alpha$はアルファと読む文字で、この行き先の値を極限という。$⟹$は「左が成り立つなら右も成り立つ」の印である。

公式全体は「どの番号でも$c_n$がはさまれていて、両側の行き先が同じ$\alpha$なら、間の行き先も$\alpha$である」と言っている。

数を入れて確かめる。$a_n=1-\frac{1}{n}$、$b_n=1+\frac{1}{n}$なら、$\frac{1}{n}$が0に近づくので、両側の行き先はどちらも1である。間の$c_n$は、1から$\frac{1}{2n}$だけ下と上へ交互にずれた数とする。

$n=100$では$0.99\le 1.005\le 1.01$で、上と下の幅は0.02しかない。幅が0へ縮むので、間の$c_n$に逃げ場はない。

つまみで番号を増やすと、上下の幅が縮み、点が1の線に寄っていく。行き先の差を0より大きくすると、幅はその差より縮まず、間の点は揺れ続ける。

引き算で0の話にする

はさみうちの原理は、引き算1回で「0に近づくかどうか」の話に直せる。すべての$n$で$a_n\le c_n\le b_n$が成り立ち、$a_n$と$b_n$がどちらも$\alpha$に収束するとする。収束とは、行き先が1つの値に決まることをいう。

1. 各辺から$a_n$を引く

   $$0\le c_n-a_n\le b_n-a_n$$

同じ数を引くと、数直線の上で3つの点が同じだけ左へ動くので、並ぶ順番は変わらない。$n=5$なら、$0.8\le 0.9\le 1.2$から0.8を引いて$0\le 0.1\le 0.4$になる。

2. 右端は収束する数列の差なので極限は0

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }(b_n-a_n)=\alpha -\alpha =0$$

$b_n$も$a_n$も$\alpha$に近づくので、その差は$\alpha$から$\alpha$を引いた0に近づく。

3. 0以上で、0に近づく量以下なので0に近づく

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }(c_n-a_n)=0$$

手順3は、0からの離れ方が、0に縮んでいく数より小さいと言っているにすぎない。枠が0へ縮めば、枠の中にある斜線の棒も0へ縮むしかない。

$c_n$は、$a_n$に差の$c_n-a_n$を足し戻した数である。$n=100$なら$1.005=0.99+0.015$だ。

4. $c_n$を$a_n$と差の和に戻す

   $$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n& =\underset{n\to \infty }{\lim }\{a_n+(c_n-a_n)\}\\ & =\alpha +0=\alpha \end{array}$$

足す前の$a_n$は$\alpha$に近づき、足す差は手順3で0に近づく。だから和の$c_n$は$\alpha +0$、つまり$\alpha$に近づく。

もっとも、不等式はすべての$n$でなくても、ある番号から先で成り立てば足りる。極限は、はじめの有限個の項に左右されないからだ。

大学の証明では、手順3を「どんなに小さな誤差を注文されても、ある番号から先はその中に入る」と言い直す。その問答の形はlimと∞の読み方で読める。

揺れる数列の例

たとえば$\frac{\sin n}{n}$は、符号を変えながら揺れる。では、行き先はどう決まるのか。

$\sin n$の$n$は角の大きさで、度ではなく弧の長さで測る。半径1の円で、角に向かい合う弧の長さをそのまま角の大きさとする測り方を、弧度法という。半周の弧の長さは$\pi$（約3.14）なので、$\pi$が180°にあたる。

$\sin$は、半径1の円周上にある点の高さを表す。点A$(1,0)$から左回りに弧の長さ$n$だけ進んだ点の高さが、$\sin n$である。

円の一番上の高さは1、一番下は$-1$なので、$\sin n$はそのあいだから出られない。

$$-1\le \sin n\le 1$$

$n$は正の数なので、各辺を$n$で割っても不等号の向きは変わらない。

$$-\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}$$

$n=20$なら$\sin 20\approx 0.913$で、20で割ると約0.046になり、$-0.05$と0.05のあいだに収まる。$\approx$は「ほぼ等しい」の印である。

次に両端の行き先を調べる。$n$を大きくすると$\frac{1}{n}$は0.1、0.01、0.001と0に近づき、$-\frac{1}{n}$も負の側から0に近づく。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(-\frac{1}{n}\right)=0,\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$$

両側の行き先がどちらも0なので、はさみうちの原理から、間の行き先も0に決まる。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin n}{n}=0$$

$\sin n$自体は揺れ続けるが、分母の$n$が揺れの幅ごと押しつぶす。

等号は要らない

公式の$\le$は等号を含む印である。では、等号が成り立つ番号はいくつ要るのか。答えは、1つも要らないし、いくつあってもよい。

$\le$は「小さいか、等しいか」のどちらかを言うだけだ。どの番号でも$c_n<b_n$なら、$c_n\le b_n$も正しい。だから$<$でつないだ不等式にも、原理はそのまま使える。

$a_n=1-\frac{1}{n}$、$c_n=1-\frac{1}{2n}$、$b_n=1$とすると、どの番号でも等号なしで次の不等式が成り立つ。

$$1-\frac{1}{n}<1-\frac{1}{2n}<1$$

それでも$c_n$の行き先は1で、右端と同じ値になる。どの項も1より小さいのに、極限は1に等しい。

反対に、$c_n$が$-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$と進むなら、どの番号でも$-\frac{1}{n}$か$\frac{1}{n}$のどちらかにぴったり重なる。両側の行き先は0なので、$c_n$の行き先も0である。

行き先が違うと使えない

一方、$-1\le \sin n\le 1$だけでは$\sin n$の行き先は何も決まらない。はさむ側の極限が$-1$と$1$に分かれていて、範囲が1点に縮まないからだ。

同じ$-1$と1のあいだには、行き先の違う数列がいくつもある。$1-\frac{1}{n}$は1へ、$\frac{1}{n}$は0へ近づき、$\sin n$はどこにも近づかない。

はさむ2つの行き先が同じときだけ、間の行き先が決まる。行き先が違えば、原理は何も言わない。

面積でsinθ/θをはさむ

では、数学IIIで習う$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=1$はどうか。$\theta$はシータと読む角の文字で、$\theta \to 0$は角を0に近づけるという意味だ。

$\theta =0$を入れると$\frac{0}{0}$になり、0で割る計算はできない。式をどう変形しても約分もできない。

ここで、はさみうちの原理が効く。$\theta$を0.1、0.01、0.001と小さくしていくと、角の値の並びは番号のついた数列そのものである。どんな並べ方で0に近づけても同じ不等式が成り立つなら、番号のかわりに角を動かしても、原理は同じ形で使える。

$0<\theta <\frac{\pi }{2}$とし、角は弧度法で測る。$\frac{\pi }{2}$は90°にあたる。

半径1の円の中心をO、点A$(1,0)$、中心角$\theta$の円周上の点をP、Aでの接線と直線OPの交点をTとする。接線は、円に1点だけで触れる直線である。

Pの高さが$\sin \theta$、Pの横の位置が$\cos \theta$である。直線OPは横に$\cos \theta$進むと$\sin \theta$上がるので、横に1進むと$\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$上がる。これがATの長さで、$\tan \theta$と書く。

$$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$$

3つの図形の面積を、1つずつ求める。三角形OAPは、底辺OAが1、高さがPの高さ$\sin \theta$である。

$$\text{三角形OAP}=\frac{1}{2}\times 1\times \sin \theta =\frac{1}{2}\sin \theta$$

扇形OAPは、面積$\pi \times 1^2=\pi$の円を切り分けた一部である。角を弧度法で測っているので弧の長さは$\theta$で、全周$2\pi$の$\frac{\theta }{2\pi }$にあたる。面積も同じ割合になり、$\pi$は約分で消える。

$$\text{扇形OAP}=\pi \times \frac{\theta }{2\pi }=\frac{1}{2}\theta$$

三角形OATは、底辺OAが1、高さATが$\tan \theta$である。

$$\text{三角形OAT}=\frac{1}{2}\times 1\times \tan \theta =\frac{1}{2}\tan \theta$$

三角形OAPは扇形OAPにすっぽり入り、扇形OAPは三角形OATにすっぽり入る。入る側の面積のほうが小さい。$\theta =0.7$（約40°）なら$0.322<0.350<0.421$だ。

5. 三角形OAP、扇形OAP、三角形OATの面積を比べる

   $$\frac{1}{2}\sin \theta <\frac{1}{2}\theta <\frac{1}{2}\tan \theta$$

次に、真ん中を$\theta$と$\sin \theta$の分数にそろえる。まず各辺を2倍して$\frac{1}{2}$を消す。

$$\sin \theta <\theta <\tan \theta$$

$0<\theta <\frac{\pi }{2}$では$\sin \theta$は正の数なので、各辺を$\sin \theta$で割っても不等号の向きは変わらない。左端は1になり、右端は$\frac{\sin \theta }{\cos \theta }\times \frac{1}{\sin \theta }=\frac{1}{\cos \theta }$になる。

6. 各辺を正の$\sin \theta$で割る

   $$1<\frac{\theta }{\sin \theta }<\frac{1}{\cos \theta }$$

逆数は、1をその数で割った数である。分数なら分母と分子を入れ替えればよく、$\frac{\theta }{\sin \theta }$の逆数は$\frac{\sin \theta }{\theta }$だ。正の数どうしでは逆数をとると大小が入れ替わり、$2<4$の逆数は$\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$となる。

7. 逆数をとると不等号の向きが変わる

   $$\cos \theta <\frac{\sin \theta }{\theta }<1$$

逆数をとった直後は$1>\frac{\sin \theta }{\theta }>\cos \theta$の順に並ぶ。これを小さいほうから左に書き直したものが手順7である。

$\theta \to +0$は、$\theta$を正の側から0に近づけるという意味である。$\theta$を小さくすると点Pは点Aに寄るので、Pの横の位置$\cos \theta$はAの横の位置1に近づく。

8. $\theta \to +0$で左端の$\cos \theta$は1に近づく

   $$\underset{\theta \to +0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=1$$

つまみで角を小さくしても、面積の順は入れ替わらない。右の目盛りでは、$\cos \theta$と$\frac{\sin \theta }{\theta }$がそろって1に寄っていく。

手順8では、右端は1のまま動かず、左端だけが1に近づく。両端の行き先がそろうので、間の$\frac{\sin \theta }{\theta }$も1に決まる。片側が一定の数でも、原理はそのまま使える。

$\theta =0.1$なら$\cos \theta =0.99500$、$\frac{\sin \theta }{\theta }=0.99833$で、たしかに2つのあいだに収まっている。

手順5から7は等号のない$<$だが、等号は要らないので$\le$のかわりに使える。

負の角も同じ

$\theta$が負の側から0に近づくときは、$\theta =-t$とおく。$t$は正の数で、$-t$は点Aから右回りに$t$だけ進んだ角である。右回りの点は左回りの点の真下に来るので、高さは符号だけが変わり、$\sin (-t)=-\sin t$となる。

9. $\theta <0$なら$\theta =-t$とおくと手順8に戻る

   $$\frac{\sin (-t)}{-t}=\frac{\sin t}{t}$$

分子も分母も符号が変わるので、割り算で打ち消し合う。$t=0.7$なら$\frac{-0.6442}{-0.7}\approx 0.920$で、正の角の0.7と同じ値になる。

$t$が0に近づけば、右辺は手順8で1に近づく。だから$\theta$がどちらの側から0に近づいても、$\frac{\sin \theta }{\theta }$は1に近づく。