素数の間隔の上限

この章の道すじ。 張の論文は54ページあり、高校までの数学ではたどれない。手でたどれるのは、式の読み方と、問題を「決まった形の窓に素数が2つ入る」に言い換える所（手順1〜2）までだ。手順3は、何が足りず、張とメイナードが何で補ったのかを数と図でつかむ所までで、証明そのものは追わない。

式の文字を読む

$p_n$は$n$番目の素数である。$p_1=2$、$p_2=3$、$p_3=5$と続くので、$p_{n+1}-p_n$は隣り合う素数の差になる。$n=4$なら$p_5-p_4=11-7=4$だ。

$\lim$は「$n$をどこまでも大きくしたときに近づく値」を表す記号である（等比数列の極限）。ところが素数の差は1つの値に近づかず、30、4、2のように上下をくり返す。

そこで$\mathrm{liminf}$（リミット・インフ、下極限）を使う。番号を進めても何度でも戻ってくる値のうち、いちばん低いものを表す記号だ。差はいつも整数なので、公式は次の言い換えと同じ意味になる。$⟺$は、左と右が同じことを言っているという記号である。

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}(p_{n+1}-p_n)<7\times 10^7\\ & ⟺p_{n+1}-p_n<7\times 10^7\text{となる}\\ & n\text{が無限にある}\end{array}$$

線の高さ$C$を6にして範囲を広げてみる。差が6以下の隣り合う組は、100までに23組、1万までに707組、100万までに29,862組あり、線以下の点は右の端まで出続ける。破線で描いた平均の差は、そのあいだにも上がっていく。

線の上の方にも目を向けたい。差は、いくらでも大きくなるからだ。$m!=1\times 2\times \cdots \times m$とすると、$j$が2から$m$までのとき、$m!$は掛け算の中に$j$を含むので、$m!+j$は$j$で割り切れる。

$$m!+j=j\left(\frac{m!}{j}+1\right)$$

だから公式は「全部の差が7000万未満」とは言っていない。7000万未満の差が何度でも現れる、と言うだけである。どの差が何度でも現れるのかも、この式からは分からない。差2かもしれないし、もっと大きな差かもしれない。

図で納得する

素数はまばらになっていく。$10^6$、$10^9$、$10^{12}$、$10^{14}$から続く100万個の整数を調べると、隣り合う素数の差の平均は14.2、20.8、27.6、32.4になった。どれも、素数定理から出る平均の差$\ln x$とほぼ同じになる。

それでも狭い所は消えない。同じ範囲の差が2の組は6,702組から1,286組へ減るだけで、ハーディーとリトルウッドの予想から出る見積もりとほぼ合う。

平均は広がるのに、狭い所は何度でも出てくるように見える。ただ、数えて分かるのは数えた所までだ。張の定理は、差を7000万未満まで許すなら、どこまで先へ行っても必ず出ると言い切る。

式で確かめる

では、無限の先まで数えずに、なぜ「必ず出る」と言えるのか。筋は3つの手順に分かれる。数の組には、どの素数で割っても余りが全種類は現れない「許される形」を選ぶ（作り方は次の章）。

1. 数の組$h_1<h_2<\cdots <h_k$を1つ決め、$n$をずらしながら$k$個の数の窓を見る

   $$n+h_1,n+h_2,\dots ,n+h_k$$

2. 窓に素数が2つ以上入る$n$が無限にあれば、隣り合う素数の差が窓の幅以下の所も無限にある

   $$p_{m+1}-p_m\le h_k-h_1$$

3. 窓の中の素数の個数を$S(n)$とし、0以上の重み$w(n)$をかけた和が、どの範囲でも正になることを示す

   $$\sum _{n}w(n)\left(S(n)-1\right)>0$$

${\sum }_n$は、$n$を動かして足し合わせるという記号である。和が正なら、$S(n)-1$が正の$n$、つまり素数が2つ以上入る$n$が少なくとも1つある。重みをつけた平均が1を超えれば、どこかに2つ入る所がある。鳩を巣より多く入れれば2羽入る巣ができる、という鳩の巣の考え方と同じだ。

重みの役目は、素数になりそうな$n$を重く見ることにある。いちばん素朴な重みは、小さな素数で割り切れない$n$だけを残す「ふるい」である。窓を$n$、$n+2$、$n+6$とし、$n$を100万から200万まで動かすと、平均はふるわないとき0.21個で、3つの数がどれも11以下の素数で割り切れない$n$だけにすると1.02個になった。

もっとも、これは100万から200万までを数えた結果にすぎない。難しいのは、数えずに式だけで、どこまで大きな範囲でも1を超えると示すことだ。ふるう素数をどこまで大きくできるかは、素数が割り算の余りにどれだけ均等に分かれるかで決まる。

素数を$q$で割ると、$q$と共通の約数を持たない余りに、ほぼ同じ数ずつ入る。たとえば100までの素数を3で割ると、余り1が11個、余り2が13個である。範囲が$x$までのとき、割る数$q$を$x^{\theta }$（$x$の$\theta$乗）くらいまで大きくしても平均としてこの均等さが保たれるなら、$\theta$（シータ）を分布の水準という。$\theta =\frac{1}{2}$なら、$x^{\theta }$は$\sqrt{x}$である。

ボンビエリ・ヴィノグラードフの定理は$\theta$が$\frac{1}{2}$未満の所まで保証し、エリオット・ハルバースタム予想は1未満まで成り立つと見込む。ゴールドストンたちの重みをほぼ最もよい形に整えると、窓に入る素数の個数は、平均で次の値になる（ベン・グリーンの解説）。導くには長い計算が要り、グリーン自身、専門家にもうまく説明できそうにないと書いている。

$$\frac{2\theta }{{\left(1+\frac{1}{\sqrt{k}}\right)}^2}$$

窓の数の個数$k$を大きくすると分母が1に近づき、平均は$2\theta$に近づく。$\theta =\frac{1}{2}$なら$2\theta =1$で、$k$をいくら大きくしても平均は1に届かない。これが張の前にあった壁である。

逆に、$\theta$が1に近ければ、この式でも$k=6$で1を超える。6個の許される形の最小の幅は16で、これが3人の条件つきの結果16にあたる。

張が証明したのは、割る数を大きな素因数を持たない数に限れば、$\theta =\frac{1}{2}+\frac{1}{584}$まで均等さが保たれるという定理である。この証明が張の仕事でいちばん難しい部分で、ドリーニュが証明した深い定理まで使う。高校の数学で追えるのは、定理の使い方までだ。

$2\theta$が1をわずかに超えるので、$k$を大きくとれば平均は1を超える。この$\theta$を上の式に入れると、$k$が341,640以上で1を超える計算になる。ただし、これは式から出る目安で、張が使った値ではない。上の式は割る数を限らない場合のものだからである。張は$k=3,500,000$で証明し、論文でこの条件を粗いと書いている。

メイナードは重みの形を変えた。窓の数ごとに別の変数を持つ重みにすると、重みをつけた平均は$\frac{\theta }{2}\times M_k$になる。$M_k$は、$k$ごとに重みの選び方で決まる比べる量である。平均が1を超える条件の両辺に$\frac{2}{\theta }$をかけると、判定の不等式が出る。

$$\begin{array}{rl}& \frac{\theta }{2}\times M_k>1\\ & ⟺M_k>\frac{2}{\theta }\end{array}$$

これまでの形の重みでは$M_k$が4を超えない。先の平均の式は$M_k=\frac{4}{(1+1/\sqrt{k}{)}^2}$にあたり、図の太い曲線がそれである。$\theta$が$\frac{1}{2}$未満なら右辺は4より大きいので、届かない。メイナードの重みでは$M_k$が$k$とともにいくらでも大きくなり、$M_{105}>4$が計算で示された。

4をわずかに超えたので、$\theta$が$\frac{1}{2}$のすぐ手前でも判定を満たす。105個の許される形に幅600のものがあるので、上限600が出る。

$\theta$を1に近づけると、右辺は2に近づく。$M_5>2$から、5個の許される形の最小の幅12が、エリオット・ハルバースタム予想のもとでの上限になる。