モーメントマグニチュード

この証明の道すじ。 断層を岩のばねとみて、硬さと面積とずれの積が力×長さになることを確かめる（手順1〜4）。その積からエネルギーを出し、観測で決まった式につなぐと−10.7が出る（手順5〜14）。単位を直して1上がると何倍かを出し（手順15〜22）、最後に目盛りが止まるわけを波の足し算で見る。

式の文字を読む

$M_w$は地震の規模を表す数で、単位はない。$M_0$（エムゼロ）は地震モーメント、$\mu$（ミュー）は岩の硬さを表す剛性率、$A$は断層の面積、$D$は断層の両側がずれた量の平均である。

頭の式の−10.7は、$M_0$をdyn·cm（ダイン・センチメートル）という古い単位で測るときの数だ。今のN·m（ニュートン・メートル）で測るなら、手順19で導く$M_w=\frac{2}{3}({\log }_{10}{M}_0-9.1)$を使う。

${\log }_{10}$（ログ・テン）は「1に10を何回掛けるとその数になるか」という回数を表す。$10\times 10\times 10=1000$なので、${\log }_{10}1000=3$だ。回数は整数とは限らず、2なら約0.301回にあたる。

つまり、桁の大きな数を、桁の数に縮める道具である。$M_0$は$10^{22}$のように大きくなるが、${\log }_{10}$を通すと22ほどになり、$\frac{2}{3}$を掛けて目盛りをそろえる。掛け算は回数の足し算に、割り算は回数の引き算になる。$1000÷10=100$は$3-1=2$である。回数の考え方は対数の法則でもたどれる。

岩を横にずらす

ばねの伸び$x$と力$F$は比例する。フックの法則の$F=kx$で、$k$はばね定数である（力の向きを除いた大きさの式）。小さく変形するあいだは、岩の塊も同じように振る舞う。

厚さ$h$の岩の塊を考える。下の面を止めて、面積$A$の上の面を横へ$D$だけ押す。塊が傾く度合いは、ずれを厚さで割った$\frac{D}{h}$で表せる。

1. 面積1 m²あたりの力は、傾く度合いに比例する。比例の定数が剛性率$\mu$である

   $$\frac{F}{A}=\mu \times \frac{D}{h}$$

2. 両辺に$A$を掛ける。$\frac{\mu A}{h}$がばね定数$k$の役をする

   $$F=\frac{\mu A}{h}\times D$$

$\mu$が硬さと呼ばれるのは、同じだけ傾けるのに要る力が$\mu$に比例するからだ。単位はN/m²で、パスカル（Pa）とも書く。気象庁の解析は$\mu$を30 GPa、つまり$3\times 10^{10}$ N/m²と置いている（Gは$10^9$倍）。

たとえば、1辺1 mの立方体（$A=1$ m²、$h=1$ m）の上の面を1 mm（0.001 m）ずらす力は、$F=3\times 10^{10}\times 1\times 0.001÷1=3\times 10^7$ Nになる。およそ3,000 tの物の重さにあたる力だ。

力×長さになるわけ

上の面を右へ押す力$F$と、下の面を左へ支える力$F$は、向きが逆で、$h$だけ離れている。この2つの力は塊を回そうとする。シーソーと同じで、回す強さは力×間隔で決まる。この積を力のモーメントという。

3. 回す強さを力×間隔で書く

   $$\text{モーメント}=F\times h$$

4. 手順2の$F$を入れると、$h$が約分で消える

   $$\frac{\mu AD}{h}\times h=\mu AD$$

厚さのつまみを動かすと、薄いほど力は大きくなるが、右の長方形の面積は変わらない。残るのは$\mu$と$A$と$D$だけで、これが地震モーメント$M_0$である。単位はN/m² × m² × m = N·mとなり、たしかに力×長さになる。

岩の塊の話は、形をつかむための簡単な模型だ。正式には、断層のずれと同じ波を出す力の組を、力を除くと元に戻る物体（弾性体）の式から導き、その大きさが同じ$\mu AD$になる。

ばねのエネルギー

ばねを離すと、力は$F$から0まで減りながら$x$だけ動く。平均の力は$\frac{F}{2}$なので、ばねが出すエネルギーは$\frac{1}{2}Fx$だ。断層でも、ずれる前にかかっていた応力（面積1 m²あたりの力）が抜けていく。抜ける量を応力降下といい、$\Delta \sigma$（デルタ・シグマ）と書く。

5. 平均の力$\frac{\Delta \sigma }{2}\times A$で$D$だけ動くので、エネルギーは次の値になる

   $$E=\frac{\Delta \sigma }{2}\times A\times D$$

6. 右辺に$\mu$を掛けて$\mu$で割り、$M_0=\mu AD$をまとめる

   $$\begin{array}{rl}E& =\frac{\Delta \sigma }{2\mu }\times \mu AD\\ & =\frac{\Delta \sigma }{2\mu }{M}_0\end{array}$$

金森は、浅い地震の応力降下がほぼ一定であることを使った。$\frac{\Delta \sigma }{\mu }$を約$10^{-4}$と置くと、分母の$\frac{2\mu }{\Delta \sigma }$は$2\times 10^4$になる。

7. 手順6の係数を$\frac{1}{2\times 10^4}$に置き換える

   $$E=\frac{M_0}{2\times 10^4}$$

$\mu =30$ GPaなら、$\Delta \sigma$は約3 MPaにあたる（Mは$10^6$倍）。ただ、応力降下は地震によって違い、阪神・淡路大震災の地震では平均8 MPaと求められた。だから手順7は「だいたいこのくらい」という見積もりである。

観測の式につなぐ

もう1本の式は観測から来た。ベノー・グーテンベルクとリヒターは1956年、地震波のエネルギー$E$と$M_s$の関係をまとめた。エネルギーの単位はエルグ（erg）で、1 J = $10^7$ ergである。1 ergは1 dyn·cmに等しく、ダイン（dyn）は古い論文で使われた力の単位だ。だから手順8から手順14までの$M_0$はdyn·cmで測る。

$${\log }_{10}E=1.5M_s+11.8$$

ただし$M_s$は頭打ちになるが、手順7の$E$は頭打ちにならない。この$E$は、断層にたまっていたエネルギーの減り方から出した値で、摩擦についての条件がそろえば地震波のエネルギーにあたる。そこで金森は手順7の$E$を左辺に入れ、右辺の$M_s$を$M_w$と置いて新しい目盛りを定義した。

8. 手順7の両辺の${\log }_{10}$をとる。割り算は引き算になる

   $$\begin{array}{rl}{\log }_{10}E=& {\log }_{10}{M}_0\\ & -{\log }_{10}(2\times 10^4)\end{array}$$

9. ${\log }_{10}(2\times 10^4)=0.301+4\approx 4.3$を入れる

   $${\log }_{10}E={\log }_{10}{M}_0-4.3$$

10. 観測の式の左辺を、手順9の右辺に置き換える

    $${\log }_{10}{M}_0-4.3=1.5M_w+11.8$$

11. 両辺に4.3を足す

    $${\log }_{10}{M}_0=1.5M_w+16.1$$

12. 16.1を左辺へ移す

    $$1.5M_w={\log }_{10}{M}_0-16.1$$

13. 両辺を1.5で割る。1.5で割ることは$\frac{2}{3}$を掛けることで、$16.1÷1.5\approx 10.73$である

    $$M_w=\frac{2}{3}{\log }_{10}{M}_0-10.73$$

ハンクスと金森は、3つの関係を見比べた。$M_L$では定数が16.0で、$M_s$と$M_w$では16.1である。1.5で割ると10.67と10.73で、どちらも小数第1位までなら10.7になる。

14. 3つの目盛りをまとめて、定数を10.7と書く

    $$M_w=\frac{2}{3}{\log }_{10}{M}_0-10.7$$

論文の表で確かめると、$M_0=1\times 10^{26}$ dyn·cmの地震は$\frac{2}{3}\times 26-10.7\approx 6.6$で、$M_s$の6.6と合う。

1952年の$M_L$だけが式の値7.5より低いのは、$M_L$の天井が7のあたりにあるためだと論文は見ている。

N·mの形に直す

今は力をN、長さをmで測る。1 N = $10^5$ dyn、1 m = 100 cmなので、1 N·m = $10^5\times 10^2=10^7$ dyn·cmになる。同じ$M_0$をdyn·cmで測った数を$M_{\mathrm{d}}$、N·mで測った数を$M_{\mathrm{N}}$と書く。

15. dyn·cmで測った数は、N·mで測った数の$10^7$倍である

    $$M_{\mathrm{d}}=10^7\times M_{\mathrm{N}}$$

16. 両辺の${\log }_{10}$をとる。$10^7$を掛けることは、回数に7を足すことになる

    $${\log }_{10}{M}_{\mathrm{d}}={\log }_{10}{M}_{\mathrm{N}}+7$$

17. 手順11の左辺は${\log }_{10}{M}_{\mathrm{d}}$である。これを手順16の右辺に置き換える

    $${\log }_{10}{M}_{\mathrm{N}}+7=1.5M_w+16.1$$

18. 両辺から7を引く。ここから先の$M_0$はN·mで測る

    $${\log }_{10}{M}_0=1.5M_w+9.1$$

19. 手順12と手順13と同じように、$M_w$について解く

    $$M_w=\frac{2}{3}\left({\log }_{10}{M}_0-9.1\right)$$

USGSの表と、地震調査委員会の強震動予測の手法は、この9.1の形を使う。ところが丸めた−10.7から出発すると、定数は9.1にならない。−10.7は手順11の16.1を$10.7\times 1.5=16.05$に丸めたことにあたり、7を引くと9.05になる。

2つの形の差は$\frac{2}{3}\times (9.1-9.05)\approx 0.03$だ。資料によって小数第2位がずれるのは、この差のせいでもある。

1上がると約32倍

20. 手順18で$M_w$を1増やすと、${\log }_{10}{M}_0$は1.5増える。回数が1.5増えるので、$M_0$は$10^{1.5}$倍になる

    $$\frac{\text{後の}{M}_0}{\text{前の}{M}_0}=10^{1.5}$$

21. 指数を1と0.5に分ける。$10^{0.5}$は2乗すると10になる数で、$\sqrt{10}$と書く

    $$\begin{array}{rl}10^{1.5}& =10\times \sqrt{10}\\ & \approx 10\times 3.162\approx 31.6\end{array}$$

22. $M_w$を2増やすと、回数は3増える

    $$10^{1.5\times 2}=10^3=1000$$

手順7で$E$は$M_0$に比例するので、エネルギーの倍率も同じになる。気象庁の解説にある「マグニチュードが1違うと地震のエネルギーは約32倍」は、この計算にあたる。つまみを1に合わせ、長さと幅とずれが同じ倍率で伸びるとすると、それぞれ3.16倍で31.6倍に届く。

目盛りが止まるわけ

では、なぜ揺れの幅の目盛りは止まるのか。断層は一度には割れないからだ。東北の地震では、主な破壊が約160秒続いた。断層の各部分が順に波を出し、地震計にはその波の和が届く。

周期が破壊の時間よりずっと長い波なら、どの部分の波も同じ向きに振れているので、足すほど大きくなる。周期の短い波では、前の部分の山と後ろの部分の谷が重なって消し合う。

これは実際の地震波の計算ではなく、説明のための模型である。断層が端から同じ速さで割れるとし、速さを450 km ÷ 160秒 ≈ 2.8 km/sと置いた。実際の破壊は3つに分かれるなど、もっと複雑だ。

周期を20秒にして断層を長くしていくと、30 kmほどを超えたあたりから、足した高さは0と約18の間を行き来するだけになる。500 kmにしても18を超えない。天井の高さは、周期×割れる速さ÷円周率（$20\times 2.8÷3.14\approx 18$）で決まるからだ。周期を1000秒にすると天井は約890に上がり、450 kmの断層で約431まで伸びる。

金森の1977年の論文は、同じことを波長で述べている。断層の大きさが、測る波の波長（ふつう5〜50 km）を超えると、飽和が起きる。割れる速さと波の速さは同じくらいなので、周期と破壊の時間を比べることは、波長と断層の大きさを比べることに近い。波の速さを3 km/sに丸めると、波長（速さ×周期）は周期1秒で3 km、周期20秒で60 kmになる。

周期83〜333秒の波長の一部は450 kmの断層より短く、周期200〜1000秒の波長はすべて断層より長い。速さを丸めた目安ではあるが、気象庁の8.8と9.0の差は、この違いと矛盾しない。