モンスター群とムーンシャイン

この章の道すじ。 正方形で群と表現の次元をつかみ、j関数に数を入れて読む。「図で納得する」までで、196884と196883が何の数で、どこが驚きなのかが分かる。予想とその証明は大学院の数学なので、「式で確かめる」は何が証明されたかと道具の役目までにとどめ、読み飛ばしても次の章へ続けて読める。

式の文字を読む

公式の1行目は、j関数を$q$の累乗の和（級数）で書いたものだ。$\tau$（タウ）に数を入れるとまず$q$が決まり、$\frac{1}{q}$、744、$196884q$…と足した和がjの値になる。2行目は、その係数196884を群の側の数で書き直した等式である。

形を変えない動かし方

正方形を、元の場所にぴったり重なるように動かす方法は8通りある。90°ずつの回転が4通り（動かさないことも0°の回転に数える）と、縦、横、2本の斜めの軸での裏返しが4通りだ。

2つの動かし方を続けて行うと、また8通りのどれかになる。90°左に回してから縦の軸で裏返すと、右上がりの斜めの軸で裏返したのと同じになる。

$$\begin{array}{rl}& 90^{\circ }\text{回す}\to \text{縦の軸で裏返す}\\ & =\text{右上がりの斜めで裏返す}\end{array}$$

1つ目と2つ目を選ぶと、正方形が順に動き、8通りのどれと同じかが出る。64通りのどの組も8通りに収まり、動かさない動かし方と、元に戻す動かし方もそろっている。続けて行うことを掛け算とみなしたこの集まりが群で、要素の数（位数）は8である。

それ以上分けられない部品

群は、小さな群に分けていける。4つのものを並べ替える24通りの群は、2通り、2通り、3通り、2通りの4つの部品に分かれ、部品の位数を掛けると$24=2\times 2\times 3\times 2$になる。部品はそれ以上分けられない単純群で、整数を素数に分けるのと似ている。

ただし、これはたとえである。整数は素数を掛け合わせれば元に戻るが、群は部品が同じでも、組み立て方で別の群になることがある。

散在型でいちばん大きいモンスター$M$の位数は、次の54けたの数になる。

$$\begin{array}{rl}|M|& =2^{46}\cdot 3^{20}\cdot 5^9\cdot 7^6\cdot 11^2\cdot 13^3\\ & \cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 31\\ & \cdot 41\cdot 47\cdot 59\cdot 71\\ & \approx 8.08\times 10^{53}\end{array}$$

ボーチャーズは、この数を地球をつくる素粒子の数ほどだと書いた。スコット・カーナハンは、トランプ52枚の並べ方の数$52!$（1から52までの整数の積）が約$8\times 10^{67}$で、モンスターの位数より大きいと指摘する。

並べ方の群は手で計算できるのに、モンスターは計算機でも扱いにくい。理由は大きさより、次に見る軸の数にある。

何本の軸で書けるか

正方形を、横軸$x$と縦軸$y$の平面に中心を合わせて置く。90°左に回すと点$(x,y)$は$(-y,x)$へ、縦の軸で裏返すと$(-x,y)$へ移る。

$$\begin{array}{rl}90^{\circ }\text{回す}& :(x,y)\mapsto (-y,x)\\ \text{縦の軸で裏返す}& :(x,y)\mapsto (-x,y)\end{array}$$

8通りのどれも、2本の軸の座標の入れ替えと符号で書け、続けて行った結果も群の掛け算と合う。群の動かし方を、何本かの軸をもつ空間の動かし方として書いたものを表現といい、軸の数を次元という。正方形の群は2次元で書ける。

軸が3本なら立体の空間で、4本以上になると絵には描けない。それでも、点を軸の本数だけ並べた数の組で書けば、回す計算や裏返す計算はいくらでも続けられる。

どの群にも、すべての要素を「動かさない」に送る1次元の表現がある。$196883+1$の1は、この表現の次元である。

モンスターでは、その次に小さい表現でも196883次元が要る。196883は$47\times 59\times 71$で、位数の素因数の大きい方から3つの積だ。

ヘーの追悼文によれば、196883行196883列の数の表（行列）が2枚あれば、掛け合わせていくことでモンスターのすべての要素を表せる。それ以上分けられない表現（既約表現）はモンスターに194個あり、次元は小さい順に1、196883、21296876、842609326と続く。

図で納得する

j関数に入れる$\tau$は、実数の軸より上にある複素数$\tau =x+yi$（$y>0$）である。複素数は、横にふつうの数、縦に$i$の何倍かをとった平面の点で、$i$は2乗すると$-1$になる数だ。$q$は、約2.718の決まった数$e$（ネイピア数）を$2\pi i\tau$乗して作る。

$$\begin{array}{rl}q& =e^{2\pi i\tau }=e^{2\pi ix}{e}^{2\pi i\cdot yi}\\ & =e^{2\pi ix}{e}^{-2\pi y}\end{array}$$

1行目は$\tau =x+yi$を入れ、指数の足し算を掛け算に分けた。2行目は$i\times i=-1$を使い、$y$の部分を実数の指数にした。

$e^{2\pi ix}$は、オイラーの等式で見た半径1の円の上の点で、$x$が1増えると1周する。$e^{-2\pi y}$は$\frac{1}{e^{2\pi y}}$のことで$q$の大きさを決め、$\tau$が高いほど小さい。$\tau =i$なら$q=e^{-2\pi }\approx 0.00187$だ。

$q$が小さいと$\frac{1}{q}$は大きく、$196884q$や$21493760q^2$は急に小さくなる。つまり足し算は最初の数項でほぼ決まり、$\tau =i$では和が1728に近づく（途中の計算の章）。

ボーチャーズによれば、jは$\tau$を$\tau +1$や$-\frac{1}{\tau }$に替えても値が変わらない。744は定数の項で、足しても引いてもこの性質は崩れない。だから、ムーンシャインでは744を引いて定数の項を0にした$J$を使う。

$$\begin{array}{rl}J(\tau )& =j(\tau )-744\\ & =\frac{1}{q}+196884q+21493760q^2+\cdots \end{array}$$

1984年のムーンシャイン加群は、この$J$の係数を各階の大きさ（次元）にもつ、建物のような空間である。モンスターは各階の中だけを動かし、各階は既約表現に分かれる。その分かれ方が冒頭の一致だ。

$$\begin{array}{rl}196884& =196883+1\\ 21493760& =21296876+196883+1\\ 864299970& =842609326+21296876\\ & +2\cdot 196883+2\cdot 1\end{array}$$

一致が1つだけなら、偶然でも起こりうる。でも、3つ続けて、小さい次元をいくつか足すだけで余りなく合うことは、偶然では説明しにくい。ガノンの解説も、この先の係数を見れば偶然という見方は消えると書いている。

ただし、次元の数だけでは分かれ方が1つに決まるとは限らない。$q^4$の係数20245856256には、既約表現の次元を数個ずつ足す書き方が2通りある（例題3）。

式で確かめる

トンプソンは、階の大きさを数えるだけでなく、モンスターの要素$g$ごとに、各階の軸がどれだけ元の向きに残るかを数えようと提案した。動かし方は、軸ごとの行き先を縦に並べた数の表（行列）で書ける。正方形を90°回すと横の軸は$(0,1)$へ、縦の軸は$(-1,0)$へ移るので、表の1列目は0と1、2列目は−1と0になる。

表の左上から右下への斜めの数を足した値を、トレース（tr）という。斜めの数は、各軸が動いたあとも自分の向きにどれだけ残るかを表し、正方形では残れば1、逆向きなら−1、横へ倒れれば0になる。動かさない要素なら、トレースは次元そのものだ。

要素ごとのトレースを係数に並べた級数を、マッケイ・トンプソン級数という。$V_n$は$q$の$n$乗の階、$\sum$は$n=1,2,3,\dots$と動かして足す記号だ。

$$T_g(\tau )=\frac{1}{q}+\sum _{n\ge 1}\mathrm{tr}(g\mid V_n)q^n$$

$g$が動かさない要素なら、$T_g$は$J$に戻る。階がいくつかの既約表現に分かれると、トレースも部品ごとのトレースの和になる。次元の和が同じでも部品が違えば、どこかの要素でトレースが食い違う。だから、トレースを全部の要素で並べれば、分かれ方が1つに決まる。

ボーチャーズは、2回続けると元に戻る要素（位数2）の2種類について、$q^{-1}+4372q+96256q^2+\cdots$と$q^{-1}+276q-2048q^2+\cdots$を挙げている。前者の4372は、2番目に大きい散在型ベビーモンスターで1を除いて最小の表現の次元4371に、1を足した数だ。ガノンの解説によれば、96256もベビーモンスターの次元を使って$96255+1$と書ける。

コンウェイとノートンの予想は、どの$g$でも$T_g$が「種数0の群の主関数」になる、というものだ。$J$は$\tau$の決まった範囲で、どの値もちょうど1回ずつとる（図示の章）。

種数は、面にあいたドーナツのような穴の数である。その範囲のふちを貼り合わせ、上の果てを1点で閉じると穴の無い球と同じ形になるので、種数は0だ。主関数は、その面の上でどの値もちょうど1回ずつとり、$\frac{1}{q}$で始まって定数の項が0の関数をいう。

予想は、各$T_g$も、$g$ごとに決まる$\tau$の別の動かし方の集まりについて、同じ性質をもつと言っている。正方形の90°回しと270°回しは裏から見れば同じ動きで、トレースも等しい。このように見る向きを変えると重なる要素の組を共役類といい、モンスターの194の共役類から、違う関数が171個出てくる。

ボーチャーズ自身が1998年の講演でまとめたところでは、1992年の証明は4段でできている。

1. フレンケルらの空間が、頂点代数という特別な掛け算の構造をもつことを使う。
2. 弦理論の「ゴーストなし定理」で、モンスターが働くリー代数を作る。リー代数は、連続的な対称性を扱う代数の一種である。
3. そのリー代数の分母公式から、係数どうしの関係式（複製公式）を出す。
4. 複製公式を満たす関数は、最初の数個の係数で決まる。予想の主関数も複製公式を満たすと先に示されていたので、最初の係数を1つずつ照らし合わせて一致を確かめる。

2段目では、次元の足し算$24+2=26$が効く。ピーター・ゴダードの講演によれば、ムーンシャイン加群は弦理論で空間の次元にあたる数（中心電荷）が24で、2次元の格子から作った空間をかけ合わせると26になる。ゴーストなし定理は、弦理論で「長さの2乗が負」というありえない状態（ゴースト）が出ないことを示す定理で、26次元のときにいちばん強い結論が出る。

分母公式は、リー代数から出る「差が無限個の掛け算に等しい」という等式で、$J$については次の形をしている。$p=e^{2\pi i\sigma }$は$q$と同じ作り方のもう1つの数、$c(n)$は$J$の$q^n$の係数、$\prod$は、$m$を正の整数、$n$を整数全体$\mathbb{Z}$で動かして掛け合わせる記号である。

$$J(\sigma )-J(\tau )=\frac{1}{p}\prod _{m>0,n\in \mathbb{Z}}(1-p^m{q}^n{)}^{c(mn)}$$

両辺の係数を比べると、$2\times 2=1\times 4$のように積が等しい組から、係数の関係が出る。

ボーチャーズが例に挙げた式に数を入れると、左右が一致する。

$$\begin{array}{rl}& c(4)=c(3)+\frac{c(1{)}^2-c(1)}{2}\\ & \frac{196884^2-196884}{2}=19381556286\\ & 864299970+19381556286\\ & =20245856256\end{array}$$

こうして予想は、194の共役類のどれについても正しいと証明された。それでも、なぜモンスターとj関数がつながるのかは、まだ核心をつかめていないと考える人が多い、とガノンは2004年の解説に書いた。頂点代数の構造をもち、階の大きさが$J$の係数になる空間がムーンシャイン加群のほかに無いかどうかも、その時点では予想のままだった。