ビーベルバッハ予想

この証明の道すじ。 図で複素数と「写す」という見方をつかみ、重なる写像と重ならない写像を比べる。式では手順1〜5で重なりを判定し、6〜10でケーベ関数の係数を、11〜16で切れ目と回転を手で出し、17〜24で$|a_2|\le 2$を面積から導く。3番目から先のド・ブランジュの証明は高校の数学では追えないので、何を示したかを言葉でたどる。

$$\begin{array}{rl}& |a_n|\le n\\ & \left(f(z)=z+a_2{z}^2+a_3{z}^3+\cdots \right)\end{array}$$

円の内側の点$z$を、点$f(z)$へ写す。違う点どうしが重ならず、式が定数の項なしで$z$（係数は1）から始まるなら、$n$番目の係数の大きさは$n$を超えない。式が言っているのはこれだけである。

図で納得する

複素数は、平面の点を1つの数で書いたものである。点$(x,y)$を$x+yi$と書き、$i$は2乗すると$-1$になる数とする。計算は文字式と同じように進め、$i^2$が出たら$-1$に置き換える。

$|z|$は原点から点までの距離を表す。たとえば$3+4i$なら三平方の定理で$\sqrt{3^2+4^2}=5$になる。$|z|<1$を満たす点の集まりが「円の内側」で、係数$a_n$も一般には複素数なので、$|a_n|$でその大きさを測る。

関数は、点を別の点へ動かす規則と読める。$f(z)=2z$に$0.3+0.4i$を入れると$0.6+0.8i$が出て、点は原点から2倍遠くへ動く。これが「写す」で、この規則を写像と呼ぶ。

2乗には決まった動きがある。$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$なので、距離は$\sqrt{2}$から2へ、角は45°から90°へ変わる。距離は2乗になり、角は2倍になる。

関数を$z^2$にして点を回すと、角が2倍になるので、左の1周で右は2周し、$z$と$-z$が同じ点へ行く。$2z$と$\frac{z}{(1-z{)}^2}$では、1周で1周のまま、違う点は違う点へ行く。

円の内側の違う2点がいつも違う点へ写るとき、その写像を単葉と呼ぶ。たとえば$2z$は単葉で、$z^2$は単葉ではない。$z^2$では0.6と$-0.6$がどちらも0.36へ写るからである。

$z$に$z^2$の項を足していくと、どこで重なり始めるのだろうか。$f(z)=z+a{z}^2$の$a$を動かすと分かる。

$a$が$\frac{1}{2}$までは重ならないが、$\frac{1}{2}$を超えると縁の線が交差して、斜線の輪の中へは2点ずつ来る。$a=1$の$z+z^2$では$-0.5+0.5i$と$-0.5-0.5i$がどちらも$-0.5$へ写る。

ただし、$z+z^2$は係数がどれも$n$以下なのに重なる。予想は「重ならないなら係数は$n$以下」と言うだけで、逆は成り立たない。

この2項だけなら$a$の上限は$\frac{1}{2}$に見えるが、$z^3$より先の項を足していくと、重ならないまま$a_2$を2まで上げられる。その行き着く先がケーベ関数である。

もう1つ、上限を言うには大きさをそろえなければならない。$2z$も$10z$も重ならないのに、$z$の係数は2や10になってしまう。

そこで定数の項を0に（$f(0)=0$）、$z$の係数を1にそろえてから比べる。$z$の係数は原点での微分の値$f^{\prime }(0)$で、原点のごく近くで点の間隔が何倍になるかを表す。単葉ならこの値は0にならない（0だと原点のまわりが$z^2$のように重なる）。ずらすことと、拡大や縮小、回転は重なりを作らないので、どの単葉の関数もこの形に直せる。

上限にぴったり乗る関数がある。パウル・ケーベの名で呼ばれるケーベ関数で、係数が1つ残らず$n$に等しい。

$$\begin{array}{rl}K(z)& =\frac{z}{(1-z{)}^2}\\ & =z+2z^2+3z^3+4z^4+\cdots \end{array}$$

$K$は円の内側を、平面から1本の切れ目を除いた全部へ広げる。切れ目は横の軸の$-\frac{1}{4}$から左へ続く半直線である。円周をたどると、切れ目がどう生まれるかが分かる。

半径$r$を1にすると、上半分の点と下半分の点が同じ点へ写り、円周が切れ目に畳まれる。$r$を小さくすると、写った線は切れ目を避けて原点を囲む輪に戻る。半径を1にしたまま円周の点の横の座標$x$を0.6にすると、$K(z)=-1.25$と読める。

2番目の係数$a_2$は、原点の近くで写像がどれだけ偏るかを表す。$z=0.1$と$z=-0.1$を$z+2z^2$に入れると0.12と$-0.08$になり、同じ距離の点が右へは遠く、左へは近くへ写る。つまり$|a_2|\le 2$は、重ならない写像はどれも、この偏りでケーベ関数に勝てないという主張である。

では、なぜ2で止まるのか。$f$を、円の外側の点$\zeta$（ゼータ）で定まる関数に作りかえると、最初の2項が$\zeta -\frac{a_2}{2}\cdot \frac{1}{\zeta }$になる。作り方は手順17〜19でたどれる。まずこの2項だけを動かしてみる。

半径1の円（単位円）はこの写像で楕円（円を縦や横に伸び縮みさせた形）になり、横の半径は$1-\frac{a_2}{2}$、縦の半径は$1+\frac{a_2}{2}$になる。$a_2$を上げると楕円は細り、$a_2=2$で線分に潰れて面積が0になる。

その先は線の回る向きが逆になり、面積の式の値は負になる。ところが重ならない写像なら、単位円の写った線は自分と交わらず、回る向きも変わらない。この値は線が囲む図形の面積そのものなので、負にはなれない。だから$a_2$は2で止まる。

式で確かめる

重なりを判定する。 $z^2$と$z+a{z}^2$とケーベ関数で、同じ点へ写る2点$z_1$、$z_2$を探す。どれも因数分解で片づく。

1. $z^2$で同じ点へ写るとする

   $$z_1^2=z_2^2$$

2. 右辺を左へ移して因数分解する

   $$(z_1-z_2)(z_1+z_2)=0$$

3. $z+a{z}^2$で同じことをする（移項して$z_1-z_2$でくくる）

   $$(z_1-z_2)(1+a(z_1+z_2))=0$$

手順2では$z_2=-z_1$のとき、違う2点でも等式が成り立つ。一方、手順3では$z_1+z_2=-\frac{1}{a}$のときに重なる。円の内側では$|z_1+z_2|$が2未満なので、この2点がとれるのは$|a|>\frac{1}{2}$のときだけである。

4. ケーベ関数で同じ点へ写るとして、分母を払う

   $$z_1(1-z_2{)}^2=z_2(1-z_1{)}^2$$

5. 展開すると両辺の$-2z_1{z}_2$が消える。移項して因数分解する

   $$(z_1-z_2)(1-z_1{z}_2)=0$$

2つの数の積の大きさは、大きさどうしの積になる。だから円の内側の2点では$|z_1{z}_2|<1$となり、$1-z_1{z}_2$は0にならない。残るのは$z_1=z_2$だけで、ケーベ関数は重ならない。

ケーベ関数の係数を手で出す。 項を限りなく足していく式を級数と呼ぶ。使うのは、同じ比で項が進む等比級数と掛け算の表である。

6. $1-z$を掛けて途中の項を消す

   $$\begin{array}{rl}& (1-z)(1+z+z^2+z^3)\\ & =1-z^4\end{array}$$

7. 項を増やしても右辺は1と$z$の累乗の差のままで、円の内側ではその累乗が0へ近づく。項を限りなく続けて両辺を$1-z$で割る

   $$\begin{array}{rl}\frac{1}{1-z}& =1+z+z^2\\ & +z^3+\cdots \end{array}$$

8. 両辺を2乗する

   $$\begin{array}{rl}& \frac{1}{(1-z{)}^2}\\ & =(1+z+z^2+\cdots )\\ & \times (1+z+z^2+\cdots )\end{array}$$

9. 同じ累乗の個数を数えてまとめる

   $$\begin{array}{rl}\frac{1}{(1-z{)}^2}& =1+2z+3z^2\\ & +4z^3+\cdots \end{array}$$

10. 両辺に$z$を掛ける

    $$\begin{array}{rl}K(z)& =z+2z^2+3z^3\\ & +4z^4+\cdots \end{array}$$

係数はこうして式から決まる。予想はその大きさを、重ならないという条件と最初の2項の約束だけで抑える。

切れ目を手で出す。 円周の上の点では、$K(z)$が簡単な分数に変わる。

11. 分子と分母を$z$で割る

    $$\begin{array}{rl}K(z)& =1÷\frac{(1-z{)}^2}{z}\\ & =\frac{1}{z-2+\frac{1}{z}}\end{array}$$

12. 円周の上は$z=x+yi$、$x^2+y^2=1$で、$(x+yi)(x-yi)=x^2+y^2=1$から$\frac{1}{z}=x-yi$となる

    $$z+\frac{1}{z}=2x$$

13. 手順11に入れる

    $$K(z)=\frac{1}{2x-2}$$

$y$が消えたので、上半分の$x+yi$と下半分の$x-yi$は同じ点へ写る。$x$は$-1$から1未満までなので、$2x-2$は$-4$から0の手前までの負の数になり、その逆数は$-\frac{1}{4}$から左へどこまでも続く。

14. $K(z)=w$の分母を払い、$z$の2次方程式に直す

    $$w{z}^2-(2w+1)z+w=0$$

2つの解の積は1になる。$w(z-z_1)(z-z_2)$の定数の項が$w{z}_1{z}_2$で、それが$w$に等しいからである。$w=2$なら$(2z-1)(z-2)=0$で解は$\frac{1}{2}$と2、一方が内側でもう一方が外側になる。

円の内側に解が無いのは、2つの解がどちらも円周の上に来るときだけで、それが切れ目の上の$w$である。$w=-\frac{1}{2}$なら$z^2+1=0$で$z=\pm i$となり、確かに円周の上にある。つまり、切れ目の外の点はどれも、円の内側のちょうど1点から写ってくる。

回しても等号。 大きさが1の数$\alpha$（アルファ）を掛けると、点は原点のまわりに回る。オイラーの公式の$e^{i\theta }$がその数である。

15. $K$に$\alpha z$を入れて$\alpha$で割る

    $$f(z)=\frac{K(\alpha z)}{\alpha }=\frac{z}{(1-\alpha z{)}^2}$$

16. 手順10に$\alpha z$を入れて$\alpha$で割る

    $$\begin{array}{rl}f(z)& =z+2\alpha z^2+3{\alpha }^2{z}^3\\ & +4{\alpha }^3{z}^4+\cdots \end{array}$$

$|\alpha |=1$なので$|n{\alpha }^{n-1}|=n$で、回してもすべての番号で等号が成り立つ。たとえば$\alpha =i$なら$z+2i{z}^2-3z^3-4i{z}^4+\cdots$となり、切れ目は$\frac{i}{4}$から上へ伸びる。

逆に、ある番号$n\ge 2$で$|a_n|=n$となる単葉の関数は、この回したケーベ関数に限られる。

上限2を面積から導く

手順17〜19で$f$を関数$g$に作りかえると、$a_2$は$g$の$\frac{1}{\zeta }$の係数に移り、そこに面積の条件がかかる。

17. $f$の$z$を$z^2$に替え、$z^2$をくくり出す

    $$\begin{array}{rl}f(z^2)& =z^2(1+a_2{z}^2\\ & +a_3{z}^4+\cdots )\end{array}$$

18. 平方根をとる。$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\cdots$を使う

    $$\begin{array}{rl}h(z)& =\sqrt{f(z^2)}\\ & =z+\frac{a_2}{2}{z}^3+\cdots \end{array}$$

19. $z$を$\frac{1}{\zeta }$に替えて逆数をとる。$\frac{1}{1+x}=1-x+\cdots$を使う

    $$\begin{array}{rl}g(\zeta )& =\frac{1}{h(1/\zeta )}\\ & =\zeta -\frac{a_2}{2}\cdot \frac{1}{\zeta }+\cdots \end{array}$$

手順18で平方根がとれるのは、$f$が0になるのが原点だけで、手順17の括弧の中が0にならないからである。展開は、2乗すると$1+a_2{z}^2+\cdots$が戻ることで確認できる。

$f$が重ならないなら$h$も$g$も重ならない。$h(z_1)=h(z_2)$なら2乗して$f(z_1^2)=f(z_2^2)$となり、$z_2=\pm z_1$である。$z_2=-z_1$なら$h(-z)=-h(z)$から$h(z_1)=0$で、それは$z_1=0$のときだけである。$\frac{1}{\zeta }$をとることと逆数をとることは、違う点を違う点へ送るので、$g$にも重なりは生まれない。

20. 最初の2項だけなら面積は手で計算できる。$b$を実数とすると、円周の上の点$\zeta =x+yi$では$\frac{1}{\zeta }=x-yi$だから

    $$\begin{array}{rl}\zeta +\frac{b}{\zeta }& =(1+b)x\\ & +(1-b)yi\end{array}$$

半径1の円を横に$1+b$倍、縦に$1-b$倍に伸ばした楕円である。面積にも同じ倍率がかかるので$\pi (1+b)(1-b)=\pi (1-b^2)$になる。たとえば$b=-\frac{1}{2}$なら、横の半径0.5、縦の半径1.5で、面積は約2.36である。

では、項が多いときはどうか。$g$は円の外側を重ならずに写すので、単位円の写った線は自分と交わらない閉じた線になる。$g$はその線の外側へしか行かず、内側の図形には届かない。この図形の面積を$S$とする（正確には半径を1より少し大きくとって1へ近づける）。

21. $S$は、1914年のトーマス・グロンウォールの面積定理で決まる。$g(\zeta )=\zeta +\frac{b_1}{\zeta }+\frac{b_2}{{\zeta }^2}+\cdots$のとき

    $$\begin{array}{rl}S& =\pi (1-|b_1{|}^2\\ & -2|b_2{|}^2-3|b_3{|}^2-\cdots )\end{array}$$

22. 面積は負にならないので、括弧の中は0以上である

    $$\begin{array}{rl}|b_1{|}^2& \le 1-2|b_2{|}^2\\ & -3|b_3{|}^2-\cdots \\ & \le 1\end{array}$$

23. 手順19から$b_1=-\frac{a_2}{2}$を入れる

    $$\left|\frac{a_2}{2}\right|\le 1$$

24. 両辺を2倍する

    $$|a_2|\le 2$$

手順21の式の導き方は大学の内容だが、手順20の楕円はその$b_1$だけの場合にあたる。$|a_2|=2$なら$|b_1|=1$で、手順22から残りの項はすべて0になり、$g(\zeta )=\zeta -\frac{\alpha }{\zeta }$（$|\alpha |=1$）の形に決まる。ケーベ関数の$g(\zeta )=\zeta -\frac{1}{\zeta }$はこの形で、1をすべて$|b_1{|}^2$に使い切っている。これが、上限がケーベ関数で決まる理由である。

ここから先は大学の内容

3番目から先は、面積の式だけでは届かない。ド・ブランジュの証明は次の3段でつかめる。

1段目はローブナーの式である。$f$を、写した先の範囲が時間$t$とともに広がる単葉の関数の列$f(z,t)$に埋め込む（$f(z,0)=f(z)$）。列全体が満たす微分方程式を使うと、係数の変化を時間で追える。

2段目は対数をとった係数である。対数を使って$\log \frac{f(z)}{z}=d_{1}z+d_2{z}^2+\cdots$とおく。1960年代半ばにレベデフとミリンが整えた方法によれば、次の不等式が番号$n$で成り立てば$|a_{n+1}|\le n+1$が出る。これがミリン予想で、$\sum$は$k$を1から$n$まで動かして足す記号である。

$$\sum _{k=1}^n(n+1-k)\left(k|d_k{|}^2-\frac{4}{k}\right)\le 0$$

ケーベ関数では$d_k=\frac{2}{k}$なので、$k|d_k{|}^2-\frac{4}{k}=\frac{4}{k}-\frac{4}{k}=0$で、括弧の中はどの$k$でも0になる。ここでもケーベ関数が等号の位置にいる。

3段目がド・ブランジュの工夫である。時間で動く重み${\tau }_k(t)$（$\tau$はタウ）を付けた和$\psi (t)$（$\psi$はプサイ）を作り、重みの出発点を${\tau }_k(0)=n+1-k$に選ぶと、$\psi (0)$はミリン予想の左辺そのものになる。

$$\psi (t)=\sum _{k=1}^n{\tau }_k(t)\left(k|d_k(t){|}^2-\frac{4}{k}\right)$$

重みは時間が限りなく進むと0に近づくので、$\psi (t)$も0に近づく。だから$\psi (t)$が減らないと示せれば、出発点は0以下になる。減らないためには、重みが時間とともに増えないことが要る。ド・ブランジュ自身が示せなかったこの一点が、アスキーとガスパーの1976年の不等式である。