創造的破壊の成長モデル

この計算の道すじ。 発明1回の価値を出し（手順1〜5）、研究者の賃金と釣り合わせ（手順6〜9）、数を入れて$n$を解く（手順10〜15）。

発明1回の価値

首位の会社は、次の発明が来るまで毎年、売上から費用を引いた利益を得る。経済学ではこの額を$\pi$（パイ）と書き、円周率とは別物である。将来の利益は今すぐ手に入る同じ額より値打ちが低いので、発明の価値$V$は、利益を今の値打ちに直して合計した額になる。

1. 首位にいられる年数の平均を書く。1年の回数の逆数になる

   $$\text{在位の平均}=\frac{1}{\lambda n}$$

2. 利子が無ければ、価値は1年の利益に在位の平均を掛けた額になる

   $$V=\pi \times \frac{1}{\lambda n}$$

3. 預けたお金が1年に増える割合、利子率$r$を入れる。$V$を預けて得る利子は、利益から追い出される損を引いた額に等しい

   $$rV=\pi -\lambda nV$$

4. $\lambda nV$を左辺へ移す

   $$(r+\lambda n)V=\pi$$

5. $r+\lambda n$で割る

   $$V=\frac{\pi }{r+\lambda n}$$

手順3は、銀行に預けても発明を持っても得が同じになる所で価値が決まる、という考え方だ。$\lambda nV$は、1年に追い出される起こりやすさ$\lambda n$に、失う価値$V$を掛けた損である。

分母の$\lambda n$が、創造的破壊そのものである。独占が消える速さが、利子と同じ働きで将来の利益を削る。年に100万円の利益で$r=0.05$なら、追い出されないときの価値は2000万円だ。ところが$\lambda n=0.5$になると、約182万円まで下がる。

賃金との釣り合い

働く人は全部で$N$人で、研究に$n$人が回ると、製造に残るのは$N-n$人だ。研究の得が賃金より大きければ人が研究へ流れ、小さければ去る。

6. 研究者1人の1年の賃金$w$と、確率$\lambda$で手に入る発明の価値が釣り合う

   $$w=\lambda V$$

利益の式には、論文のコブ＝ダグラス型の例を使う。製造の$x$人が作った製品から$x^{\alpha }$（$0<\alpha <1$）の生産が生まれる形で、$\alpha$が小さいほど独占の力が強い。論文の式（2.8）によると、首位の会社は製品を賃金の$\frac{1}{\alpha }$倍の値段で売るのがいちばん得になる。

$\alpha =0.5$なら生産は$\sqrt{x}$の形で、賃金1で作る製品を2で売り、売上2のうち1が利益になる。一般に利益は賃金の総額の$\beta =\frac{1-\alpha }{\alpha }$倍で、$\alpha =0.5$なら$\beta =1$だ。

この値段が通るのは、前の世代の製品が競争相手にならない大きな改良のときである。$\alpha =0.5$なら、$\gamma$がおよそ1.41以上にあたる。改良が小さいと前の世代の製品に割り込まれ、値段に上限がかかって式が変わる²。

7. 次の発明の利益を書く。品質が$\gamma$倍になると賃金も$\gamma$倍になる

   $$\pi =\beta \gamma w(N-n)$$

8. 手順5と手順7を手順6に入れる

   $$w=\lambda \times \frac{\beta \gamma w(N-n)}{r+\lambda n}$$

9. 両辺を$w$で割る。これが論文の式（3.4）である

   $$1=\frac{\lambda \gamma \beta (N-n)}{r+\lambda n}$$

右辺は「研究の得の見込み÷賃金」にあたる。$n$が増えると分子は小さくなる。製造の人手が減って賃金が上がり、次の発明の利益が減るからだ。分母は大きくなり、次の発明までの期間が縮んで独占の寿命も短くなる。論文が挙げる2つの理由である。

利益の割合を小さくしていくと、$n=0$でも右辺が1に届かなくなり、研究者は0人になる。成長が始まるには、ある程度の独占の力が要るという論文の結論である。

研究者の数を解く

10. 両辺に$r+\lambda n$を掛ける

    $$r+\lambda n=\lambda \gamma \beta (N-n)$$

11. 右辺のかっこを外す

    $$r+\lambda n=\lambda \gamma \beta N-\lambda \gamma \beta n$$

12. $n$の項を左辺へ、$r$を右辺へ移す

    $$\lambda n+\lambda \gamma \beta n=\lambda \gamma \beta N-r$$

13. 左辺を$\lambda n$でくくる

    $$\lambda n(1+\gamma \beta )=\lambda \gamma \beta N-r$$

14. $\lambda (1+\gamma \beta )$で割る

    $$n=\frac{\lambda \gamma \beta N-r}{\lambda (1+\gamma \beta )}$$

15. 作った例の$\lambda =0.001$、$\gamma =1.5$、$\beta =1$、$N=100$、$r=0.06$を入れる

    $$n=\frac{0.15-0.06}{0.001\times 2.5}=36$$

研究者は36人で止まる。このとき発明は1年に平均0.036回、約28年に1回で、成長率は$g=0.036\times \ln 1.5\approx 0.0146$、年に約1.5%である。

では、追い出される分を消すとどうなるか。手順9の分母を$r$だけにして同じ数を入れると、次の式になる。

$$1=\frac{0.001\times 1.5\times (100-n)}{0.06}$$

両辺に0.06を掛けて0.0015で割ると$100-n=40$で、$n=60$になる。今の研究の成果は、将来の研究に消される。その見込みが、60人を36人に抑えている。

次の研究が多いと見込むほど、今の研究は減る。この負のつながりは、今の研究が0になる極端な形も生む。研究が止まれば次の発明は来ないので、経済はそこで成長を止める。論文が「成長の無い罠」と呼ぶ状態だ。

釣り合う$n$は、$r$が下がるほど、$\gamma$、$N$、$\lambda$が上がるほど増える。公式の$\lambda$と$\gamma$には、掛け算の項としての効きと、$n$を増やす効きの2つが重なる。

多すぎるか、少なすぎるか

36人は、それぞれが自分の得だけを考えて落ち着く数である。市場に任せた数と言ってもよい。では、社会にとってちょうどよいのだろうか。

論文は、将来の生産を今の値打ちで合計した額を最大にする研究者の数$n^{\ast }$を求めた。コブ＝ダグラス型の例では、次の式を満たす。

$$1=\frac{\lambda (\gamma -1)\frac{1}{\alpha }(N-n^{\ast })}{r-\lambda n^{\ast }(\gamma -1)}$$

手順9と見比べると、$\gamma$が$\gamma -1$に、$r+\lambda n$が$r-\lambda n(\gamma -1)$に、$\beta$が$\frac{1}{\alpha }$に変わっている。自分の得だけを考える人が見ない損得が、この違いに入る。

ビジネス・スティーリングは、法律上の盗みではなく、前の会社の利益が新しい会社へ移ることを指す。社会全体で増えるのは$\gamma -1$の分だけなのに、発明した会社は$\gamma$の分の利益を受け取る。反対に、発明の成果は次の発明の土台として永久に残るが、発明した会社が得をするのは追い出されるまでだ。

だから、2つの向きが打ち消し合って、市場の数はどちらにも転ぶ。論文の結論は、$\gamma$が大きいと少なすぎ、独占の力が強くて$\gamma$があまり大きくないと多すぎる、である。

作った例で計算すると、上の$\alpha =0.5$、$\gamma =1.5$では最適が80人で、市場の36人は少なすぎる。同じ$\lambda$、$N$、$r$で$\alpha =0.05$、$\gamma =1.2$にすると、市場の93.3人は最適の89.5人より多い。

もっとも、モデルが言えるのは「どちらもありうる」までだ。アカデミーの解説によると、経済全体では研究が少なすぎるという証拠が多い。一方で、ビジネス・スティーリングのために研究が多すぎる産業や企業もありえて、同じ解説は一律の研究補助を最適ではないと見ている。