ランダー・ウォーターマンの式

この証明の道すじ。 まず、1本の断片が決めた1か所を覆う確率$L/G$から、$N$本とも外れる確率を掛け算で出す（手順1〜3）。それをネイピア数の極限につないで$e^{-c}$にする（手順4〜6）。同じ考えで、1か所が$k$回読まれる確率（手順7〜11）と、つながった島の数（手順12〜15）も出す。

式の文字を読む

$G$はゲノムの長さ、$L$は1本の断片の長さで、どちらも塩基の数で数える。$N$は読んだ断片の本数、$c$は1か所の塩基が平均で何回読まれるかで、単位は回だ。$P_0$は、決めた1か所が一度も読まれない確率を表す。

$c$は、全部の断片の長さの合計を、ゲノムの長さで割った数である。$G=1000$塩基のゲノムを$L=100$塩基の断片で$N=30$本読むと、合計は3000塩基で、ゲノム3本分になる。

$$c=\frac{LN}{G}=\frac{100\times 30}{1000}=3$$

ただし平均3回は、どの塩基もちょうど3回読まれるという意味ではない。断片をでたらめな位置に置けば、厚く重なる所も、どの断片も届かない所もできる。

1か所が残る確率

断片の左端は、ゲノムの$G$か所のどこにも同じ確からしさで落ちるとする。ゲノムの両端はつないで輪とみなし、端からはみ出した断片は、反対の端へ続ける。

1. 決めた1か所$x$を覆うのは、左端が$x$から左へ$L$か所のどこかに落ちたときで、$G$か所のうちの$L$か所

   $$\frac{L}{G}=\frac{100}{1000}=0.1$$

2. 1本の断片が外れる確率は、1から覆う確率を引いた値

   $$1-\frac{L}{G}=0.9$$

3. $N$本の置き場所は互いに関係なく決まるので、$N$本とも外れる確率は、外れる確率を$N$回掛けた値

   $$\begin{array}{rl}{P}_0& ={\left(1-\frac{L}{G}\right)}^N\\ & =0.9^{30}\approx 0.0424\end{array}$$

片方の結果が、もう片方の起こりやすさを変えないことを独立という。1本目がどこに落ちても、2本目が落ちやすい場所は変わらない。硬貨を何回投げても、次に表が出る確からしさが2分の1のままなのと同じだ。

つまり、平均3回読んでも、ゲノムの約4%が読まれずに残る。この掛け算は、$G$が大きくなるとネイピア数$e$の式に変わる。

4. $n=G/L$と置くと、1本が覆う確率は$1/n$で、$c=LN/G$を$N$について解くと$N=cn$

   $$P_0={\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{cn}$$

5. 指数の$cn$を$n\times c$と見て、$n$乗をかっこでくくる

   $$P_0={\left\{{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n\right\}}^c$$

6. $n$を大きくすると、かっこの中は$1/e\approx 0.368$に近づく

   $$P_0\to {\left(\frac{1}{e}\right)}^c=e^{-c}$$

手順6で使ったのは、当たる確率が$1/n$のくじを$n$回引いて外れ続ける確率が、$1/e$に近づくことだ。$e$は2.718…と続く決まった数で、導き方はネイピア数の記事の例題1でたどれる。

$e^{-c}$は「$e$の$-c$乗」と読み、$1/e$を$c$回掛けた数を表す。$c=3$なら$e^{-3}\approx 0.0498$で、手順3の0.0424とはまだ15%ずれる。

ただ、このずれはゲノムを長くするほど小さくなる。断片の長さを100塩基、平均の回数を3回のままにして、$G$だけを変えると次のようになる。本数は$N=3n$で、ずれは$e^{-3}\approx 0.0497871$と比べた値である。

$G$	$n$	$(1-1/n{)}^{3n}$	ずれ
1,000	10	0.0424	−15%
1万	100	0.0490	−1.5%
10万	1,000	0.04971	−0.15%
100万	1万	0.049780	−0.015%
30億	3,000万	0.0497871	−0.000005%

$n$を10倍にするたびに、ずれはほぼ10分の1になる。人のゲノムのように$G$が断片よりずっと長ければ、$e^{-c}$をそのまま答えとして使ってかまわない。掛け算を$e$の式に置き換える同じ近似は、誕生日のパラドックスにも出てくる。

図で納得する

平均3回読んでも、ちょうど3回読まれる塩基は4分の1に満たない。

つまみで平均の回数$c$を選ぶと、5,000塩基の輪に、長さ50塩基の断片を$100c$本でたらめに置く。読まれた回数ごとに塩基を分けた割合が棒で、点は次の式の値だ。左端の0回の棒が、読み残しの割合にあたる。

$$P_k=\frac{c^k{e}^{-c}}{k!}$$

$P_k$は、1か所がちょうど$k$回読まれる確率である。$k!$は「$k$の階乗」と読み、$k$から1まで掛けた数で、$3!=6$、$0!=1$と決める。$k=0$を入れると$c^0=1$なので、$P_0=e^{-c}$に戻る。

$c=3$なら、0回が5.0%、1回が14.9%、2回と3回がどちらも22.4%、4回が16.8%になる。こうして0回、1回、2回、…に確率を配る並びを、ポアソン分布という。

では、1回だけ読まれる確率はどう出すのか。$N$本のうち、どの1本がその1か所を覆うかで$N$通りある。覆う1本の確率$L/G$と、残りの$N-1$本が外れる確率を掛ける。

$$P_1=N\times \frac{L}{G}\times {\left(1-\frac{L}{G}\right)}^{N-1}$$

$N\times L/G$は$c$そのもので、$(1-L/G{)}^{N-1}$は手順6と同じく$e^{-c}$に近づくから、$P_1\approx c{e}^{-c}$となる。$G=1000$の例では$30\times 0.1\times 0.9^{29}\approx 0.141$で、$3e^{-3}\approx 0.149$に近い。

式で確かめる

$k$回のときも、覆う$k$本の選び方を数えれば同じ形になる。$N$個から$k$個を選ぶ選び方の数を、${}_N{\mathrm{C}}_k$と書く。たとえば5本から2本を選ぶ選び方は10通りで、${}_5{\mathrm{C}}_2=10$である。

7. 覆う$k$本を選び、その$k$本が覆う確率と、残り$N-k$本が外れる確率を掛ける

   $$\begin{array}{rl}{P}_k={}_N{\mathrm{C}}_k& {\left(\frac{L}{G}\right)}^k\\ & \times {\left(1-\frac{L}{G}\right)}^{N-k}\end{array}$$

8. ${}_N{\mathrm{C}}_k$を、$N$から1ずつ減らした$k$個の数の積を$k!$で割った形で書く

   $$\begin{array}{rl}& {}_N{\mathrm{C}}_k=\\ & \frac{N(N-1)\cdots (N-k+1)}{k!}\end{array}$$

9. $N$が$k$よりずっと大きいと分子は$N^k$に近く、$(L/G{)}^k$と合わせて$(NL/G{)}^k=c^k$になる

   $${}_N{\mathrm{C}}_k{\left(\frac{L}{G}\right)}^k\approx \frac{c^k}{k!}$$

10. 外れる側は$N$乗を$k$乗で割った形で、$L/G$が小さいと分母は1に近い

    $$\begin{array}{rl}& {\left(1-\frac{L}{G}\right)}^{N-k}\\ & =\frac{(1-L/G{)}^N}{(1-L/G{)}^k}\approx e^{-c}\end{array}$$

11. 手順9と10を手順7に入れる

    $$P_k\approx \frac{c^k{e}^{-c}}{k!}$$

手順7の形の確率の並びを二項分布といい、${}_N{\mathrm{C}}_k$は二項定理の係数と同じ数である。手順9の近似は、人のゲノムでは誤差にならない。30億塩基を100塩基の断片で平均3回読むと$N$は9000万本で、$k=3$でも分子と$N^3$の差は約3,000万分の1にとどまる。

つながった島を数える

読まれた所は、重なり合った断片がつながった島になる。どの島にも右端の断片が1本ずつあるので、島の数は右端になる断片の数と等しい。

12. ある断片が島の右端になるのは、その断片の中に、ほかの$N-1$本のどの左端も落ちないとき

    $${\left(1-\frac{L}{G}\right)}^{N-1}\approx e^{-c}$$

13. どの断片も右端になる見込みは同じなので、島の数の平均はその$N$倍

    $$\text{島の数}\approx N{e}^{-c}$$

$G=1000$、$L=100$、$N=30$なら、島は平均$30\times e^{-3}\approx 1.5$個になる。

重なりを見分けるのに$T$塩基以上の共有が要ると、島はもっと細かく切れる。次の断片の左端が右へ寄りすぎると、2本は重なっていても、共有が$T$に届かないからだ。見分けられた重なりだけでつないだ島を、論文は見かけの島と呼んだ。

14. 島が続くには、次の左端が断片の左端から$L-T$塩基の中に落ちる必要があり、落ちない確率は

    $${\left(1-\frac{L-T}{G}\right)}^{N-1}\approx e^{-c(1-\theta )}$$

15. $\theta =T/L$を使い、見かけの島の数の平均を$N$倍で出す

    $$\text{見かけの島の数}\approx N{e}^{-c(1-\theta )}$$

手順15は、ランダーとウォーターマンが論文の最初に挙げた結果である。論文はさらに、1本だけの島の数を$N{e}^{-2c(1-\theta )}$、1つの島に入るクローンの数の平均を$e^{c(1-\theta )}$とした。

つまみで平均の回数$c$と、見分けるのに要る重なりの割合$\theta$を変える。$\theta$を上げると、重なっていても見分けられないつなぎ目が増え、帯の下の島が細かく割れていく。数えた島の数は、読み出しの$N{e}^{-c(1-\theta )}$のまわりでばらつく。